Ein lineares Gleichungssystem setzt sich aus meheren Gleichungen mit gemeinsamen Unbekannten zusammen. Um es eindeutig lösen zu können, braucht man mindestens ebenso viele Gleichungen wie Unbekannte. Gibt es also drei unbekannte Größen (zB. a,b und c), benötigt man auch mindestens drei Gleichungen zum Lösen.
Beispiel I a + 1 2 b − 10 c = 5 I I 2 a − b = 6 I I I − 2 a + 4 b − 5 c = − 12 \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccc}I&a&+&\frac12b&-&10c&=&5\\\mathrm{II}&2a&-&b&\;&\;&=&6\\\mathrm{III}&-2a&+&4b&-&5c&=&-12\end{array} I II III a 2 a − 2 a + − + 2 1 b b 4 b − − 10 c 5 c = = = 5 6 − 12
Gleichungssysteme lösen Es gibtvier verschiedene Verfahren, ein solches Gleichungssystem zu lösen:
Gleichungssystem mit Hilfe einer Matrix Ein Lineares Gleichungssystem lässt sich immer als Erweiterte Koeffizienten Matrix /2009 ( A ∣ b ) \left(\mathrm A\left|\mathrm b\right.\right) ( A ∣ b )
⇒ A ⋅ x = b \Rightarrow\;\mathrm A\cdot\mathrm x=\mathrm b ⇒ A ⋅ x = b
( A ∣ b ) = ( a 11 ⋯ a n 1 ⋮ ⋮ a 1 m ⋯ a n m ∣ b 1 ⋮ b n ) \def\arraystretch{1.25} (A\left|b)\right.=\left(\begin{array}{ccc}{\mathrm a}_{11}&\cdots&{\mathrm a}_{n1}\\\vdots&&\vdots\\{\mathrm a}_{1m}&\cdots&{\mathrm a}_\mathrm{nm}\end{array}\left|\begin{array}{c}b_1\\\vdots\\b_n\end{array}\right.\right) ( A ∣ b ) = a 11 ⋮ a 1 m ⋯ ⋯ a n 1 ⋮ a nm b 1 ⋮ b n
Mit Hilfe dieser Matrix kann man bei größeren Gleichungssystemen schneller und leichter durch Umformung zur Lösung gelangen. (Bsp. Gaußalghorithmus)
Lösungskriterien
1.eindeutige Lösung: r g ( A ) = r g ( A ∣ b ) \mathrm{rg}(\mathrm A)=\mathrm{rg}(\mathrm A\left|\mathrm b\right.) rg ( A ) = rg ( A ∣ b )
2.keine Lösung: r g ( A ) 3. u n e n d l i c h v i e l e L o ¨ s u n g e n : rg(A)3. unendlich viele Lösungen: r g ( A ) 3. u n e n d l i c h v i e l e L o ¨ s u n g e n :
/// Beispiel
Bestimme die Lösungsmenge in abhängigkeit von a.
%%\left|\begin{array}{l}3x1+4x 2+2x3=1\2x 1+ax2+1x 3=2\1x1+2x 2+2x_3=3\end{array}\right.%%
Lösung:
%%(\mathrm A\left|\mathrm b\right.)=\left(\begin{array}{ccc}3&4&2\2&\mathrm a&1\1&2&2\end{array}\left|\begin{array}{c}1\2\3\end{array}\right.\right)%%
( 3 4 2 2 a 1 1 2 2 ∣ 1 2 3 ) I ) ↔ I I I ) → ( 1 2 2 2 a 1 3 4 2 ∣ 3 2 1 ) I I ) − 2 I ) → I I I ) − 3 I ) ( 1 2 2 0 a − 4 − 3 0 − 2 − 4 ∣ 3 − 4 − 8 ) → I I I ) : ( − 2 ) ( 1 2 2 0 a − 4 − 3 0 1 2 ∣ 3 − 4 4 ) \def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{ccc}3&4&2\\2&\mathrm a&1\\1&2&2\end{array}\left|\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right.\right)\begin{array}{c}\mathrm I)\;\leftrightarrow\;\mathrm{III})\\\rightarrow\end{array}\left(\begin{array}{ccc}1&2&2\\2&\mathrm a&1\\3&4&2\end{array}\left|\begin{array}{c}3\\2\\1\end{array}\right.\right)\begin{array}{c}\mathrm{II})\;-\;2\mathrm I)\\\rightarrow\\\mathrm{III})\;-\;3\mathrm I)\end{array}\left(\begin{array}{ccc}1&2&2\\0&\mathrm a-4&-3\\0&-2&-4\end{array}\left|\begin{array}{c}3\\-4\\-8\end{array}\right.\right)\begin{array}{c}\\\rightarrow\\III)\;:(-2)\end{array}\left(\begin{array}{ccc}1&2&2\\0&a-4&-3\\0&1&2\end{array}\left|\begin{array}{c}3\\-4\\4\end{array}\right.\right) 3 2 1 4 a 2 2 1 2 1 2 3 I ) ↔ III ) → 1 2 3 2 a 4 2 1 2 3 2 1 II ) − 2 I ) → III ) − 3 I ) 1 0 0 2 a − 4 − 2 2 − 3 − 4 3 − 4 − 8 → III ) : ( − 2 ) 1 0 0 2 a − 4 1 2 − 3 2 3 − 4 4
→ I I ) − ( a − 4 ) I I I ) ( 1 2 2 0 0 − 2 a + 5 0 1 2 ∣ 3 − 4 a + 12 4 ) → I I ) ↔ I I I ) ( 1 2 2 0 1 2 0 0 5 − 2 a ∣ 3 4 12 − 4 a ) \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c}\\\rightarrow\\II)\;-\;(a-4)\;III)\end{array}\left(\begin{array}{ccc}1&2&2\\0&0&-2a+5\\0&1&2\end{array}\left|\begin{array}{c}3\\-4a+12\\4\end{array}\right.\right)\begin{array}{c}\\\rightarrow\\II)\leftrightarrow III)\end{array}\left(\begin{array}{ccc}1&2&2\\0&1&2\\0&0&5-2a\end{array}\left|\begin{array}{c}3\\4\\12-4a\end{array}\right.\right) → II ) − ( a − 4 ) III ) 1 0 0 2 0 1 2 − 2 a + 5 2 3 − 4 a + 12 4 → II ) ↔ III ) 1 0 0 2 1 0 2 2 5 − 2 a 3 4 12 − 4 a
Umformen der Matrix mit Gaußverfahren.
Um die letzte Zeile durch (5-2a) Teilen zu können und somit an dieser stelle eine 1 zu bekommen, muss gelten 5 − 2 a ≠ 0 5-2a\neq0 5 − 2 a = 0
⇒ \Rightarrow\;\; ⇒ 1.Fall : 5 − 2 a = 0 → a = 2 , 5 5-2a=0\;\;\rightarrow a=2{,}5 5 − 2 a = 0 → a = 2 , 5
rg(A) = 2 ; rg(AIb) = 3
⇒ r g ( A ) \Rightarrow\;\;rg(A) ⇒ r g ( A ) Keine Lösung
Betrachte für 1.Fall rg(A) und rg(AIb)
2.Fall : 5 − 2 a ≠ 0 → a ≠ 2 , 5 5-2a\neq0\;\;\rightarrow\;\;a\neq2{,}5 5 − 2 a = 0 → a = 2 , 5
⇒ \Rightarrow\;\; ⇒ eindeutige Lösung da r g ( A ) = r g ( A ∣ b ) rg(A)=rg(A\left|b\right.) r g ( A ) = r g ( A ∣ b )
⇒ x 1 = 12 − 4 a 5 − 2 a \Rightarrow\;x_1=\frac{12-4a}{5-2a} ⇒ x 1 = 5 − 2 a 12 − 4 a
⇒ x 2 + 2 ⋅ 12 − 4 a 5 − 2 a = 4 ⇒ x 2 = 4 2 a − 5 \Rightarrow\;x_2+2\cdot\frac{12-4a}{5-2a}=4\;\;\Rightarrow\;x_2=\frac4{2a-5} ⇒ x 2 + 2 ⋅ 5 − 2 a 12 − 4 a = 4 ⇒ x 2 = 2 a − 5 4
⇒ x 3 + 2 ⋅ 4 2 a − 5 + 2 ⋅ 12 − 4 a 5 − 2 a = 3 ⇒ x 3 = 2 a − 1 5 − 2 a \Rightarrow\;\;x_3+2\cdot\frac4{2a-5}+2\cdot\frac{12-4a}{5-2a}=3\;\;\Rightarrow\;\;x_3=\frac{2a-1}{5-2a} ⇒ x 3 + 2 ⋅ 2 a − 5 4 + 2 ⋅ 5 − 2 a 12 − 4 a = 3 ⇒ x 3 = 5 − 2 a 2 a − 1
Betrachte für 2.Fall rg(A) und rg(AIb) und berechne konkrete Werte für x 1 , x 2 u n d x 3 {\mathrm x}_1,{\mathrm x}_2\;\;\mathrm{und}\;{\mathrm x}_3 x 1 , x 2 und x 3
