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4 Anwendung: Ausmultiplizieren

Durch die binomischen Formeln lassen sich Klammerterme deutlich schneller ausrechnen als durch stures "Jedes mit jedem"-Ausmultiplizieren.

Beispiel: Berechnung mit der 1. binomischer Formel

Zu berechnen ist der Term (x2+3)2(x^2+3)^2.

1) Befolgt man einfach nur die Klammerregeln, so ergibt sich

(x2+3)2\displaystyle \left(x^2+3\right)^2
==(x2+3)(x2+3)\displaystyle (x^2+3)\cdot (x^2+3)
==x4+3x2+3x2+9\displaystyle x^4+3x^2+3x^2+9
==x4+6x2+9\displaystyle x^4+6x^2+9

2) Mit der binomischen Formel geht das schneller:

(x2+3)2\displaystyle \left(\textcolor{009999}{x^2}+\textcolor{cc0000}{3}\right)^2
==(x2)2+2x23+32\displaystyle (\textcolor{009999}{x^2})^2+2\cdot \textcolor{009999}{x^2}\cdot\textcolor{cc0000}{3}+\textcolor{cc0000}{3}^2
==x4+6x2+9\displaystyle x^4+6x^2+9

Beispiel: Berechnung mit der 2. binomischen Formel

Zu berechnen ist der Term (x6)2(x-6)^2.

1) Befolgt man einfach nur die Klammerregeln, so ergibt sich

(x6)2\displaystyle \left(x-6\right)^2
==(x6)(x6)\displaystyle (x-6)\cdot (x-6)
==x26x6x+36\displaystyle x^2-6x-6x+36
==x212x+36\displaystyle x^2-12x+36

2) Auch hier ist die binomische Formel schneller:

(x6)2\displaystyle \left(\textcolor{009999}{x}-\textcolor{cc0000}{6}\right)^2
==(x)22x6+62\displaystyle (\textcolor{009999}{x})^2-2\cdot \textcolor{009999}{x}\cdot\textcolor{cc0000}{6}+\textcolor{cc0000}{6}^2
==x212x2+36\displaystyle x^2-12x^2+36

Beispiel: Berechnung mit der 3. binomischen Formel

Zu berechnen ist der Term (x+4)(x4)(x+4)(x-4).

1) Befolgt man einfach nur die Klammerregeln, so ergibt sich

(x+4)(x4)\displaystyle (x+4)\cdot(x-4)
==x24x+4x16\displaystyle x^2-4x+4x-16
==x216\displaystyle x^2-16

2) Mit der binomischen Formel wird es leichter:

(x+4)(x4)\displaystyle \left(\textcolor{009999}{x}+\textcolor{cc0000}{4}\right)\cdot \left(\textcolor{009999}{x}-\textcolor{cc0000}{4}\right)
==(x)242\displaystyle (\textcolor{009999}{x})^2-\textcolor{cc0000}{4}^2
==x216\displaystyle x^2-16

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