Berechne die 1. Ableitung von %%f(x)=\ln(x^2)%% für %%x\in \mathbb R\setminus \{0\}%%.

Ableitung

Um %%f(x)%% ableiten zu können musst du wissen, wann eine Funktion differenzierbar ist, was die Kettenregel ist und wie du die natürliche logarithmus Funktion %%\ln(x)%% ableiten kannst.

Zerlege zunächst %%f(x)%% in %%u(x)%% und %%v(x)%%.

%%u(x)=\ln(x)%% und %%v(x)=x^2%%.

Dann ist %%f(x)=u(v(x))=u(x^2)=\ln(x^2)%%.

Berechne die Ableitung von %%u(x)%% und %%v(x)%%.

Es gilt: %%u'(x)=\dfrac1x%% und %%v'(x)=2x%%

Jetzt kannst du %%f(x)%% mit Hilfe der Kettenregel ableiten:

%%f'(x)=\left(u(v(x))\right)'=u'(v(x))\cdot v'(x)=u'(x^2)\cdot v'(x)=\dfrac1{x^2}\cdot2x=\dfrac2x%%.

Diese ist für alle %%x\in \mathbb R\setminus \{0\}%% definiert.