Berechne die 1. Ableitung von %%f(x)=\sqrt{\ln x}%% für %%x>1%%.

Ableitung

Um %%f%% ableiten zu können musst du wissen, wann eine Funktion differenzierbar ist, was die Kettenregel ist, wie du Wurzeln als Potenz schreiben und wie du die natürliche Logarithmusfunktion %%\ln(x)%% ableiten kannst.

%%f(x)=\sqrt{\ln x}=\left(\mathrm{\ln x}\right)^\frac12%%

Wurzel als Potenz schreiben.

Zerlege zunächst %%f(x)%% in %%u(x)%% und %%v(x)%%:

%%u(x)=x^\frac12%%

%%v(x)=\ln(x)%%

Dann ist %%f(x)=u(v(x))=u(\ln(x))=(\ln(x))^\frac12%%.

Berechne die Ableitung von %%u(x)%% und %%v(x)%%:

%%u'(x)=\dfrac12\cdot x^{\frac12-1}=\dfrac12\cdot x^{-\frac12}=\dfrac1{2}\cdot \dfrac1{\sqrt x}%%

%%v'(x)=\dfrac1x%%

Jetzt kannst du %%f(x)%% mit Hilfe der Kettenregel ableiten:

%%f'(x)=\left(u(v(x))\right)'=u'(v(x))\cdot v'(x)=u'\left(\ln(x)\right)\cdot v'(x)=\dfrac1{2}\cdot \dfrac1{\sqrt {\ln(x)}}\cdot \dfrac1x%%.

Diese Ableitungsfunktion ist für alle %%x>1%% definiert. Für %%x=0%% ist %%\dfrac1x%% nicht definiert und für %%x<0%% ist %%\ln(x)%% nicht definiert.