%%f(x)=e^{-x}%%

Definitionsbereich festlegen

Da die Funktion keine Brüche, Wurzeln oder andere Dinge enthält, die den Definitionsbereich einschränken könnten, ist der Definitionsbereich der Funktion %%D_f=\mathbb{R}%%.

Nullstellenbestimmung

Die %%e%%-Funktion besitzt auf %%D_f=\mathbb{R}%% keine Nullstelle, weshalb die betrachtete Funktion %%f%% ebenfalls keine besitzt.

Ableitungen

1. Ableitung

%%f(x)=e^{-x}%%

Die Ableitung von %%e^{-x}%% ist %%e^{-x} \cdot (-1)%%.

%%f'(x)=-e^{-x}%%

2. Ableitung

%%f'(x)=-e^{-x}%%

Die Ableitung von %%-e^{-x}%% ist %%-e^{-x} \cdot (-1)%%.

%%f''(x)=e^{-x}%%

Extrema bestimmen

Da %%f'(x)=-e^{-x}%% nie Null wird, hat die Funktion keine Extrema.

Wendepunkte bestimmen

Da %%f''(x)=e^{-x}%% nie Null wird, hat die Funktion keine Wendepunkte.

Grenzwertbetrachtung

%%D_f=\mathbb{ℝ}%%

Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Verhalten gegen  %%\pm\infty%% betrachtet werden.

gegen %%+\infty%%

%%\lim_{x\to\infty} \underbrace{e^{-x}}_{\to 0} = 0%%

Damit besitzt %%f%% eine horizontale Asymptote bei 0 für die Annäherung an %%-\infty%%.

gegen %%+\infty%%

%%\lim_{x\to-\infty}\underbrace{e^{-x}}_{\to \infty}=\infty%%

Symmetrieverhalten

%%f(x)=e^{-x}%%

Ersetze %%x%% durch %%-x%%.

%%f(-x)=e^{-(-x)}=e^x%%

Da %%f\left(-x\right)%% weder %%-f\left(x\right)%% noch  %%f\left(x\right)%% ist, weist die Funktion keine Symmetrie auf.

Monotonieverhalten

Um die Monotonie zu ermitteln, betrachte das Vorzeichen von %%f'(x)%%. Da %%f'(x)%% keine Nullstellen aufweist, ändert sich die Steigung von %%f(x)%% auch nicht. Betrache die Steigung daher an einer beliebigen Stelle, z. B. %%x=0%%:

$$f'(0)=-e^{-0}=-1 < 0$$

Damit ist die Funktion streng monoton fallend in %%D_f = \mathbb{R}%%.