%%f(\mathrm x)=\ln\left(\frac{1+\mathrm e^{\mathrm x}}{1-\mathrm e^{\mathrm x}}\right)%%

%%f(x)=\ln\left(\frac{1+ \mathrm e^{\mathrm x}}{1- \mathrm e^{\mathrm x}}\right)%%

Als erstes wird mit Hilfe der Kettenregel abgeleitet.

Dann differenzierst du unter Verwendung der Quotientenregel nach.

%%f'(x)=\dfrac{1}{(\frac{1+\mathrm e^{\mathrm x}}{1-\mathrm e^\mathrm x})}\cdot\frac{\mathrm e^\mathrm x\cdot\left(1-\mathrm e^\mathrm x\right)-\left(1+\mathrm e^\mathrm x\right)\cdot\left(-\mathrm e^\mathrm x\right)}{\left(1-\mathrm e^\mathrm x\right)^2}%%

Den Doppelbruch zu Beginn löst du auf, indem du den Kehrbruch des Nenners bildest.

%%f'(x)=\frac{1-\mathrm e^{\mathrm x}}{1+\mathrm e^\mathrm x}\cdot\frac{\mathrm e^\mathrm x\cdot\left(1-\mathrm e^\mathrm x\right)-\left(1+\mathrm e^\mathrm x\right)\cdot\left(-\mathrm e^\mathrm x\right)}{\left(1-\mathrm e^\mathrm x\right)^2}%%

Nun kürzt du und machst Ausmultiplizieren im Zähler.

%%=\frac1{1+\mathrm e^\mathrm x}\cdot\frac{\mathrm e^\mathrm x-\mathrm e^{2\mathrm x}+\mathrm e^\mathrm x+\mathrm e^{2\mathrm x}}{\left(1-\mathrm e^\mathrm x\right)}%%

Nun fasst du im Zähler zusammenfassen. Im Nenner wendest du die binomische Formel an.

%%=\frac{2\mathrm e^\mathrm x}{1-\mathrm e^{2\mathrm x}}%%