%%f(x)=\displaystyle\ln\sqrt[3]{\frac{e^{3x}}{1+e^{3x}}}%%

erster Schritt, den Logarithmus in einfache Teile zerlegen

%%f(x)= \ln\left(\sqrt[3]{\frac{e^{3x}}{1+e^{3x}}}\right)=\frac{1}{3}\left[\ln(e^{3x})-\ln(1+e^{3x})\right]%%

%%f(x)=x-\frac{1}{3}\ln(1+e^{3x})%%

zweiter Schritt, die Ableitung bilden

%%f\left(x\right)=x-\frac13\ln\left(1+e^{3x}\right)%%

Wende die Kettenregel an.

%%\displaystyle f'\left(x\right)=1-\frac13\frac1{1+e^{3x}}3e^{3x}%%

Kürze den 2.Term.

%%=\displaystyle 1 - \frac{e^{3x}}{1+e^{3x}}%%

Bringe den ersten Term auf den Hauptnenner.

%%=\dfrac{1+e^{3x}}{1+e^{3x}}-\dfrac{e^{3x}}{1+e^{3x}}%%

Fasse zusammen.

%%=\dfrac{1}{1+e^{3x}}%%