$$f(x)=\frac x{x^2+4}$$

$$f(x)=\frac x{x^2+4}$$

Setze den Nenner der Funktion gleich 0.

%%x^2+4=0%%

%%|{-4}%%

%%x^2=-4%%

Da diese Gleichung keine Lösungen hat, hat der Definitionsbereich der Funktion keine Lücken.

%%\Rightarrow D_f=\mathbb{R}%%  

$$f(x)=\frac x{x^2+4}$$

Setze den Zähler der Funktion gleich 0.

%%\Rightarrow x_1=0%%

Da %%x_1=0%% im Definitionsbereich %%D_f%% enthalten ist, ist es die einzige Nullstelle des Graphen der Funktion.

1. Ableitung

$$f(x)=\frac x{x^2+4}$$

Berechne die Ableitung von %%f%%,

z.B. mit Hilfe der Quotientenregel.

$$f^\prime(x)=\frac{(x^2+4)\cdot1-x\cdot2x}{(x^2+4)^2}=\frac{x^2+4-2x^2}{(x^2+4)^2}$$

$$=\frac{-x^2+4}{(x^2+4)^2}$$

2. Ableitung

$$f^\prime\left(x\right)=\frac{-x^2+4}{\left(x^2+4\right)^2}$$

Berechne die Ableitung von %%f^\prime%%,

z.B. mit Hilfe der Quotientenregel.

$$f^{\prime\prime}(x)=\frac{(x^2+4)^2\cdot(-2x)-(-x^2+4)\cdot2(x^2+4)\cdot2x}{\left((x^2+4)^2\right)^2}$$

$$=\frac{-2x(x^2+4)^2-4x(-x^2+4)(x^2+4)}{(x^2+4)^4}$$

Im Zähler %%(x^2+4)%% ausklammern.

$$=\frac{(x^2+4)\cdot\left[-2x(x^2+4)-4x(-x^2+4)\right]}{(x^2+4)^4}$$

%%(x^2+4)%% kürzen und ausmultiplizieren.

$$=\frac{-2x^3-8x+4x^3-16x}{(x^2+4)^3}=\frac{2x^3-24x}{(x^2+4)^3}$$

$$=\frac{2x(x^2-12)}{(x^2+4)^3}$$

$$f^\prime\left(x\right)=\frac{-x^2+4}{\left(x^2+4\right)^2}$$

Bestimme die Nullstellen von %%f^\prime%% durch Nullsetzen des Zählers.

%%0=-x^2+4%%

%%\mid+x^2%%

%%x^2=4%%

%%\mid\sqrt{}%%

%%x_{2,3}=\pm\sqrt{4}%%

%%\Rightarrow x_2=2%%

%%x_3=-2%%

Extremum %%x_2=2%%

$$f(x)=\frac x{x^2+4}$$

%%x_2%% einsetzen.

$$f(2)=\frac2{(2^2+4)}=\frac2{8}=\frac14$$

Überprüfen ob das Extremum ein Maximum oder ein Minimum ist:

$$f^{\prime\prime}(x)=\frac{2x(x^2-12)}{(x^2+4)^3}$$

%%x_2%% einsetzen.

$$f^{\prime\prime}(2)=\frac{2\cdot2\cdot(2^2-12)}{(2^2+4)^3}=\frac{-32}{512}=-\frac{1}{16}$$

Da %%f^{\prime\prime}(x_2)<0%% folgt %%P_2=(2\mid\frac14)%% ist ein Maximum.

Extremum %%x_3=-2%%

$$f(x)=\frac x{x^2+4}$$

%%x_3%% einsetzen.

$$f(-2)=\frac{-2}{\left((-2)^2+4\right)}=\frac{-2}{8}=-\frac14$$

Überprüfen ob das Extremum ein Maximum oder ein Minimum ist:

$$f^{\prime\prime}(x)=\frac{2x(x^2-12)}{(x^2+4)^3}$$

%%x_3%% einsetzen.

$$f^{\prime\prime}(-2)=\frac{2\cdot(-2)\cdot\left((-2)^2-12\right)}{\left((-2)^2+4\right)^3}=\frac{32}{512}=\frac{1}{16}$$

Da %%f^{\prime\prime}(x_3)>0%% folgt %%P_3=(-2\mid-\frac14)%% ist ein Minimum.

$$f^{\prime\prime}(x)=\frac{2x(x^2-12)}{(x^2+4)^3}$$

Bestimme die Nullstellen von %%f^{\prime\prime}%% durch Nullsetzen des Zählers.

%%0=2x(x^2-12)%%

Ablesen der ersten Nullstelle.

%%\Rightarrow x_4=0%%

Klammer gleich 0 setzen.

%%0=x^2-12%%

%%\mid+12%%

%%12=x^2%%

%%\mid\sqrt{}%%

%%\Rightarrow x_{5,6}=\pm\sqrt{12}=\pm2\sqrt3%%

Wendepunkt %%x_4=0%%

$$f(x)=\frac x{x^2+4}$$

%%x_4%% einsetzen.

$$f(0)=\frac0{0^2+4}=0$$

Der erste Wendepunkt der Funktion ist %%P_4(0\mid0)%%.

Wendepunkt %%x_5=2\sqrt3%%

$$f(x)=\frac x{x^2+4}$$

%%x_4%% einsetzen.

$$f(2\sqrt3)=\frac{2\sqrt3}{(2\sqrt3)^2+4}=\frac{2\sqrt3}{16}=\frac{\sqrt3}8$$

Der zweite Wendepunkt der Funktion ist %%P_5(2\sqrt3\mid\frac{\sqrt3}{8})%%.

Wendepunkt %%x_6=-2\sqrt3%%

$$f(x)=\frac x{x^2+4}$$

%%x_4%% einsetzen.

$$f(-2\sqrt3)=\frac{-2\sqrt3}{(-2\sqrt3)^2+4}=\frac{-2\sqrt3}{16}=-\frac{\sqrt3}8$$

Der dritte Wendepunkt der Funktion ist %%P_6(-2\sqrt3\mid-\frac{\sqrt3}{8})%%.

%%D_f=ℝ%%

Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Verhalten gegen  %%\pm\infty%% betrachtet werden.

Grenzwert gegen %%+\infty%%

$$f(x)=\frac x{x^2+4}$$

Grenzwert gegen %%+\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac x{x^2+4}$$

Größte Potenz von %%x%% ausklammern.

$$=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^2\cdot\frac1x}{x^2\cdot(1+\frac4{x^2})}$$

%%x^2%% kürzen.

$$=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\overbrace{\frac1x}^{\rightarrow0^+}}{\underbrace{1+\frac4{x^2}}_{\rightarrow1^+}}=0^+$$

Grenzwert gegen %%-\infty%%

$$f(x)=\frac x{x^2+4}$$

Grenzwert gegen %%-\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac x{x^2+4}$$

Größte Potenz von %%x%% ausklammern.

$$=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x^2\cdot\frac1x}{x^2\cdot(1+\frac4{x^2})}$$

%%x^2%% kürzen.

$$=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\overbrace{\frac1x}^{\rightarrow0^-}}{\underbrace{1+\frac4{x^2}}_{\rightarrow1^-}}=0^-$$

%%\Rightarrow%% die Funktion %%f(x)%% hat die waagrechte Asymptote %%y=0%%.

$$f(x)=\frac x{x^2+4}$$

Ersetze %%x%% durch %%-x%%.

$$f(-x)=\frac{-x}{(-x)^2+4}$$

Umformen.

$$=-\frac x{x^2+4}=-f(x)$$

%%\Rightarrow%% Da  %%f\left(-x\right)=-f\left(x\right)%% ist die Funktion Punktsymetrisch zum Ursprung.

Die Monotonie wird mit Hilfe einer Monotonietabelle bestimmt.

x

%%]-\infty;-2[%%

%%-2%%

%%]-2;2[%%

%%2%%

%%]2;+\infty[%%

VZ von %%f^\prime%%

%%-%%

0

%%+%%

0

%%-%%

%%G_f%%

%%\searrow%%

TP

%%\nearrow%%

HP

%%\searrow%%

Grafik Funktion Wendepunkte Kurvendiskussion