Nullstellen von trigonometrischen Funktionen

Beispiel Cosinus

Trigonometrische Funktionen sind periodisch, d. h. es gibt nicht nur eine oder gar keine Nullstellen, sondern entweder unendlich viele oder gar keine. Ein Beispiel sei %%f(x)=\cos(x^2-4\pi)%%. Der Graph der Funktion %%f%% sieht wie folgt aus.

Graph einer Cosinusfunktion

Um alle Nullstellen angeben zu können, müssen wir einen Ansatz formulieren. Wir wissen, dass der Kosinus an ungeradzahligen Vielfachen von %%\pi/2%% Null wird. Es gilt also %%\cos(k\cdot\pi/2)=0%%, %%k=1,3,5,7,9,\dots%%. Ungerade Zahlen kann man beschreiben, indem man eine Zahl verdoppelt und danach eins abzieht. Der Ansatz lautet demnach $$x^2-4\pi=(2k-1)\frac{\pi}{2}.$$ Wenn wir diese Gleichung nach %%x%% auflösen, können wir die Nullstellen von %%\cos(x^2-4\pi)%% angeben. Wir rechnen $$x^2=(2k-1)\frac{\pi}{2}+4\pi=\frac{(2k-1)\pi}{2}+4\pi.$$ Die rechte Seite können wir auf einen Hauptnenner bringen und wir erhalten $$x^2=\frac{(2k-1)\pi+8\pi}{2}.$$ Das vereinfachen wir, indem wir zunächst %%\pi%% ausklammern und vor den Bruch schreiben. Dann sind wir bei $$x^2=\pi\cdot\frac{(2k-1)+8}{2}=\pi\cdot\frac{2k+7}{2}$$ angekommen. Den Bruch trennen wir auf, indem wir jeden Summandem im Zähler durch den Nenner teilen: $$x^2=\pi\cdot\left(\frac{2k}{2}+\frac{7}{2}\right)=\pi\cdot\left(k+\frac{7}{2}\right).$$ Als letztes ziehen wir die Wurzel und haben damit für %%k\in\mathbb{Z}%% (alle ganzen Zahlen) die Lösungen $$x=\pm\sqrt{\pi\cdot\left(k+\frac{7}{2}\right)}$$ gefunden. Wir sehen, dass die Wurzel nicht immer berechenbar ist, da %%k%% eine beliebige ganze Zahl sein kann. Dass das Ergebnis dennoch stimmt, hat damit zu tun, dass die Funktion %%f(x)=\cos (x^2-4\pi)%% reelle und komplexe Nullstellen hat. Was komplexe Zahlen sind, steht im Artikel zu komplexen Zahlen.

Machen wir einen Test und setzen %%k=-3%%. Der Taschenrechner (bitte auf rad stellen) berechnet %%\cos\left(\sqrt{\pi\cdot\left(-3+\frac{7}{2}\right)}^2-4\pi\right)=0%%.

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Zu course-page Nullstellen von trigonometrischen Funktionen: Weitere Version dieser Kursseite
Nish 2015-10-01 16:30:35+0200
Hallo Nessa, hallo Inception_,

@Nessa: Wie du vielleicht mitbekommen hast, gibt es eine weitere Version dieser Kursseite (erstellt von Inception_), die deine Aufgabe etwas allgemeiner löst. Da ich diese nicht verwerfen wollte, habe ich die Version von Inception_ übernommen und deine Version als neue Kursseite (... (Version Nessa)) erstellt und noch einen Fehler verbessert.

Nun stellt sich die Frage, wie wir nun mit den 2 Versionen umgehen? Wir könnten beide drinlassen und es genauer im Kurs erläutern, dass die Version von Inception_ eine etwas allgemeinere Herangehensweise ist oder uns für eine Version entscheiden.

Am Besten wärs, wenn Ihr euch gemeinsam über das weitere Vorgehen einigen könntet.

@Inception_: In deiner Verison fehlt noch ein Betragstrich bei dem x, nach dem Wurzel ziehen.

LG,
Nish
Inception_ 2015-10-01 21:42:52+0200
Ich denke einfach, dass Nessa's Herleitung falsch ist. Wenn der Cosinus für pi/2 und 3/2pi Null wird, warum wird das Argument dann gleich pi gesetzt? Das Ergebnis selbst sagt es ja auch. Wurzel 5pi ist keine Nullstelle der Funktion.

Mein Vorschlag: Man könnte es korrigieren und dann als Aufgabe nehmen, dass man Nullstellen in einem Intervalle [0,2pi] sucht.

Gruß
Tobi
Renate 2015-10-01 22:05:24+0200
@Nish, @Nessa und @Inception_:
Bitte entschuldigt, dass ich mich in die Diskussion einmische, aber ich glaube, in der Lösung ist ein Fehler:


@Nish und @Nessa:
Der Kosinus ist periodisch mit 2*Pi, ok, dem stimme ich zu. Aber wenn in der Funktion im Argument x^2 steht und nicht einfach nur x (oder x+Konstante), kann man die allgemeine Lösung meiner Meinung nach nicht dadurch angeben, dass man k*2Pi auf eine spezielle Lösung aufaddiert.


@Inception_:
Nish hat meiner Meinung nach recht, du musst beim Wurzelziehen Betragsstriche setzen bzw. x=plus oder minus Wurzel aus .... berücksichtigen; sonst "vergisst " du nämlich sämtliche negative Lösungen (die es ja gibt - siehe deine Grafik!).
Aber noch etwas: Du darfst nicht einfach k aus Z annehmen; denn für x
Renate 2015-10-01 22:15:03+0200
Mein vorhergehender Beitrag erscheint leider "abgeschnitten"; hier nochmal der "Rest":
@Inception_:
.... Du darfst nicht einfach k aus Z annehmen; denn für x kleiner als -3 wird k+7/2 negativ, und dann kann man die Wurzel nicht mehr anwenden.

Gruß
Renate
Renate 2015-10-01 22:32:05+0200
Nochmal @Inception, zu deinem letzten Kommentar:
(Unsere beiden Antworten haben sich jetzt überschnitten, ich hatte deine Antwort noch nicht vorliegen, als ich meine schrieb.)

Ja, das mit dem Wurzel 5*Pi ist auch meiner Meinung nach falsch, und ich denke, das ist wohl auch der Fehler, von dem Nish schreibt, dass er ihn verbessert habe; sieh dir dazu die aktuelle Version an. (Allerdings hat Nish noch zu Beginn irgendwo das Ausbessern vergessen bzw. etwas übersehen, glaube ich...)

Gruß
Renate
Inception_ 2015-10-02 00:04:55+0200
Guten Abend zusammen

@Renate: Dass k für alle ganzen Zahlen gilt, stimmt. Leider hat die Funktion nicht nur reelle, sondern auch komplexe Nullstellen. Ich sehe zwei Möglichkeiten:
1./ Erwähnen, dass es den komplexen Zahlenraum gibt und in den Themen auf einen entsprechenden Artikel verlinken. Dort einen ganz kurzen Überblick geben, worum es dabei geht (würde ich machen)
2./ Ein anderes Beispiel verwenden
Nish 2015-10-02 12:30:09+0200
Hallo zusammen,
@Renate: Danke für den Hinweis. Ich habe ein paar Korrekturen vergessen/übersehen. Du hast natürlich recht, die Nullstellenmenge stimmt so nicht ganz. Man müsste 2*pi*k für k aus Z schon in den oberen Ansätzen für pi/2 und 3pi/2 berücksichtigen/dazuaddieren. Dann erhalte ich als Nullstellenmenge das gleiche, nur das 2pik unter der Wurzel steht. Jetzt sollten zumindest alle reellen Lösungen bestimmt sein. Das ist, glaube ich ausreichend und auch das was in der Schule gemacht wird, denn komplexe Zahlen werden oft erst in der Uni richtig eingeführt.

@alle: Oder irre ich mich da? Was meint Ihr?

Ich bessere das gleich bzw. über das Wochenende aus.

@Inception_: Ein Hinweis auf Komplexen Zahlen mit einer Verlinkung wäre natürlich auch eine Idee. Zumindest bei deiner allgemeinen Herangehensweise.

Liebe Grüße,
Nish
Inception_ 2015-10-02 15:18:43+0200
Hallo :)
Da es bereits einen Artikel zu komplexe Zahlen gibt, habe ich ihn verlinkt und kurz dazu geschrieben, warum k element Z richtig ist. Seid ihr damit einverstanden?

Grüße
Tobi
Nessa 2015-11-19 10:18:49+0100
@alle: Hab meine Version gelöscht, war wohl geistig etwas umnachtet :) Danke für's Ausbessern!
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