Gruppe B - lernen mit Serlo!

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $ℝ^{+}$ definierten Funktion $f : x \to \frac{3}{x}$ .

Die Punkte $Q (a | \frac{3}{a})$ mit $a \in ℝ^{+}$ liegen auf dem Graphen von $f$ . Für jeden Wert von a wird das Rechteck $OPQR$ betrachtet, von dem zwei Seiten auf den Koordinatenachsen liegen. Die Abbildung stellt die Situation für einen bestimmten Wert von $a$ dar.

Geben Sie für $a = 2$ die Seitenlängen des Rechtecks an.
(1 Pkt.)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionen
Angeben der Seitenlängen des Rechtecks.
Einsetzen von $x = 2$ in die Funktionsgleichung.
$y = \frac{3}{2} \Rightarrow y = 1,5$
Die Seitenlängen des Rechtecks sind: $2$ und $1,5$ .
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Setze für $x = 2$ in die Funktionsgleichung ein.
Berechne den Funktionswert.
Zeigen Sie, dass das Rechteck für jeden Wert von $a$ den Flächeninhalt $3$ hat.
(1 Pkt.)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionen
Zeigen, dass das Rechteck für jeden Wert von $𝐚$ den Flächeninhalt $𝟑$ hat.
Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Rechtecks lautet:
$A_{R e c h t e c k} = l \cdot b$
Einsetzen von $l = a$ und $b = \frac{3}{a}$ in die Formel.
$A_{R e c h t e c k} = a \cdot \frac{3}{a} A_{R e c h t e c k} = a \cdot \frac{3}{a}$
$A_{R e c h t e c k} = 3$
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Es gibt einen Wert von $a$ , für den $Q$ auf der Gerade mit der Gleichung $y = x$ liegt. Geben Sie diesen Wert exakt an.
(1 Pkt.)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen
Angeben eines Werts für a, der auf der Geraden mit der Gleichung $y = x$ liegt.
$x = \frac{3}{x} | \cdot x$
$x^{2} = 3 | \sqrt{}$
$x_{1 / 2} = \pm \sqrt{3}$
$x_{1} = \sqrt{3} x_{2} = - \sqrt{3}$
$x_{2}$ muss als Lösung ausgeschlossen werden, da der Wert nicht in der Definitionsmenge enthalten ist.
Der exakte Wert von a, der auf der Geraden liegt ist: $\sqrt{3}$ .
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Setze die Funktion $f (x) = \frac{3}{x}$ und die Geradengleichung $y = x$ gleich.
Berechne $x$ .

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Angeben der Seitenlängen des Rechtecks.

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Zeigen, dass das Rechteck für jeden Wert von 𝐚 den Flächeninhalt 𝟑 hat.

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Angeben eines Werts für a, der auf der Geraden mit der Gleichung y=x liegt.

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Zeigen, dass das Rechteck für jeden Wert von $𝐚$ den Flächeninhalt $𝟑$ hat.

Angeben eines Werts für a, der auf der Geraden mit der Gleichung $y = x$ liegt.