%%f(x)=x^3-x^2-x+1%%

Definitionsbereich festlegen

Da die Funktion keine Brüche , Wurzeln oder Logarithmen mit %%x%%  enthält, die den Definitionsbereich einschränken könnten, lautet der Definitionsbereich der Funktion %%D_f=ℝ%% .

 

Nullstellenbestimmung

Erste Nullstelle ermitteln

 

%%f\left(x\right)=x^3-x^2-x+1%%

Um die Nullstellen von %%f\left(x\right)%% zu bestimmten, wird %%f\left(x\right)=0%% gesetzt.

%%x^3-x^2-x+1=0%%

Die erste Nullstelle muss erraten werden. 

%%f(1)=1^3-1^2-1+1=0%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;{\mathrm{NS}}_1=\left(1\vert0\right)%%

Ermittle die restlichen Nullstellen, da es sich um ein Polynom dritten Grades handelt, mit der Polynomdivision.

 

Polynomdivision

%%\begin{array}{l}\;\;\left(x^3-x^2-x+1\right)\div\left(x-1\right)=x^2-1\\\underline{-\left(x^3-x^2\right))\;\;\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-x+1\\\;\;\;\;\;\;\;\underline{-\left(-x+1\right)\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}%%

Setze die erhaltene Funktion gleich 0.

%%x^2-1=0%%

 

        %%x^2=1%%

Ziehe die Wurzel aus  %%x^2%%  und  %%1%% .

    %%\sqrt{x^2}=\sqrt1%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;x_2=1%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;x_3=-1%%

 

 

Symmetrieverhalten

Durch Betrachtung

 

Die Exponenten zur Basis x sind sowohl gerade als auch ungerade.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Der Graph ist weder achsen- noch punktsymmetrisch

 

Durch Berechnung

Prüfen ob %%f(x)=f(-x)%%

Hiermit wird geprüft ob der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse verläuft

%%x^3-x^2-x+1=\left(-x\right)^3-\left(-x\right)^2-\left(-x\right)+1%%

 

%%x^3-x^2-x+1\;\neq\;-x^3-x^2+x+1%%

 

Der Graph ist nicht achsensymmetrisch, da  %%f\left(x\right)\neq f\left(-x\right)%% .

 

Prüfen ob %%f(-x)=-f(x)%%

Hiermit wird geprüft ob der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung verläuft.

%%\left(-x\right)^3-\left(-x\right)^2-\left(-x\right)+1=-\left(x^3-x^2-x+1\right)%%

 

%%-x^3-x^2+x+1\neq-x^3+x^2+x-1%%

 

Der Graph ist nicht punktsymmetrisch, da %%f(-x)=-f(x)%% .

 

Ableitungen

Erste Ableitung

 

%%f(x)=x^3-x^2-x+1%%

 

%%f'(x)=3x^2-2x-1%%

 

 

 

 Zweite Ableitung

%%f'(x)=3x^2-2x-1%%

Die erste Ableitung von  %%f(x)%%  als Ausgangspunkt für die zweite Ableitung.

%%f''(x)=6x-2%%

 

 

 

Extrema bestimmen

  %%f'(x)=0%%

Die Extrema der Funktion sind die Nullstellen der ersten Ableitung.

%%3x^2-2x-1\;=\;0%%

Da  %%f'(x)%%  ein Polynom zweiten Grades ist, können seine Nullstellen mit Hilfe der  Mitternachtsformel bestimmt werden.

%%x_{1,2}=\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot3\cdot(-1)}}{2\cdot3}%%

 

%%x_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{4-(-12)}}6%%

 

%%x_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{4+12}}6=\frac{2\pm\sqrt{16}}6%%

 

%%x_{1,2}=\frac{2\pm4}6%%

%%\sqrt{16}=4%%

%%x_1=\frac{2+4}6=\frac66=1%%

Der erste  %%x%% -Wert, der in die erste Ableitung der Funktion  %%f(x)%%  eingesetzt 0 ergibt.

%%x_2=\frac{2-4}6=\frac{-2}6=-\frac13%%

Der zweite %%x%% -Wert, der in die erste Ableitung der Funktion %%f(x)%%  eingesetzt 0 ergibt.

 

1. Extremum

%%f\left(x\right)=x^3-x^2-x+1%%

%%x%%-Wert des ersten gefundenen Extrempunkts in die Ausgangsfunktion einsetzen.

%%f\left(1\right)=1^3-1^2-1+1=1-1-1+1=0%%

 

%%f\left(1\right)=0%%

 

 

 

Untersuchen ob Hoch- oder Tiefpunkt

 

%%f''\left(x\right)=6x-2%%

 

%%f''\left(1\right)=6\cdot1-2=4%%

Da  %%f''\left(2\right)>0%%  hat  %%f\left(x\right)%%  an der Stelle  %%\left(1\vert0\right)%%  einen Tiefpunkt .

%%\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm{TP}=\left(1\vert0\right)%%

 

 

 

2. Extremum

%%f\left(x\right)=x^3-x^2-x+1%%

%%x%% -Wert des zweiten gefundenen Extrempunkts in die Ausgangsfunktion einsetzen.

%%f\left(-\frac13\right)=\left(-\frac13\right)^3-\left(-\frac13\right)^2-\left(-\frac13\right)+1%%

 

%%\;\;\;\;f\left(-\frac13\right)=-\frac1{27}-\frac19+\frac13+1%%

Bilde den gemeinsamen Nenner  der Summanden .

%%\;\;\;\;f\left(-\frac13\right)=-\frac1{27}-\frac{1\cdot3}{9\cdot3}+\frac{1\cdot9}{3\cdot9}+\frac{1\cdot27}{1\cdot27}%%

 

%%\;\;\;\;f\left(-\frac13\right)=-\frac1{27}-\frac3{27}+\frac9{27}+\frac{27}{27}%%

 

%%\;\;\;\;f\left(-\frac13\right)=\frac{32}{27}%%

 

 

 

Untersuchen ob Hoch- oder Tiefpunkt

 

%%f''\left(x\right)=6x-2%%

 

%%f''\left(-\frac13\right)=6\cdot\left(-\frac13\right)-2=-4%%

Da %%f''\left(-\frac{1}{3}\right)<0%% hat %%f\left(x\right)%% an der Stelle %%\left(-\frac{1}{3}\vert\frac{32}{27}\right)%% einen Hochpunkt .

%%\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm{HP}=\left(-\frac13\vert\frac{32}{27}\right)%%

 

 

 

Wendepunkte bestimmen

%%f''\left(x\right)=6x-2%%

 

%%f''\left(x\right)=0%%

 

%%6x-2=0%%

 

      %%6x=2%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% %%x=\frac26=\frac13%%

 

 

 

Wendepunkt %%x=\frac13%%

%%f\left(x\right)=x^3-x^2-x+1%%

Gefundenes  %%x%%  aus der Nullsetzung der zweiten Ableitung in  %%f\left(x\right)%%  einsetzen.

%%f\left(\frac13\right)=\frac13^3-\frac13^2-\frac13+1%%

 

%%f\left(\frac13\right)=\frac1{27}-\frac19-\frac13+1%%

Bilde einen gemeinsamen Nenner für alle Summanden.

%%f\left(\frac13\right)=\frac1{27}-\frac3{27}-\frac9{27}+\frac{27}{27}%%

 

%%f\left(\frac13\right)=\frac{16}{27}%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm{WP}\left(\frac13\vert\frac{16}{27}\right)%%

Erster und einziger Wendepunkt der Funktion gefunden bei  %%\left(\frac13\vert\frac{16}{27}\right)%%

 

 

Grenzwertbetrachtung

%%D_f=ℝ%%

Da die  Funktion  keine  Definitionslücken  hat, muss nur das Verhalten gegen %%\pm\infty%%  betrachtet werden.

 

 

gegen  %%+\infty%%

Weil keine Potenz jemals so groß werden kann, wie die Potenz dritten Grades, muss zur Grenzwertbetrachtung nur  %%x^3%%  betrachtet werden.

%%\lim_{x\rightarrow\infty}\overset{\rightarrow\infty}{\overset︷{x^3}}-\overset{\rightarrow\infty}{\overset︷{x^2}}-\overset{\rightarrow\infty}{\overset︷x}+1=%%

 

%%=\lim_{x\rightarrow\infty}x^3=\infty%%

 

 

 

gegen  %%-\infty%%

 

%%\lim_{x\rightarrow-\infty}\overset{\rightarrow-\infty}{\overset︷{x^3}}-\overset{\rightarrow-\infty}{\overset︷{x^2}}-\overset{\rightarrow-\infty}{\overset︷x}+1=%%

 

%%=\lim_{x\rightarrow-\infty}x^3=-\infty%%

 

 

Monotonieverhalten

Die Monotonie der Funktion wird mit Hilfe einer Tabelle bestimmt.

Monotonietabelle

Graph

 

 Geogebra File: /uploads/legacy/1038.xml