Hat nach diesem System jeder Gewinner die gleichen Chancen auf einen Laptop?

Wir werden zeigen, dass wirklich jeder Gewinner die gleichen Chancen auf einen Laptop hat. Dazu betrachten wir die Wahrscheinlichkeiten für jeden Gewinner einzeln.

Die Wahrscheinlichkeit für einen Laptop bei Gewinner 1, 2 und 3:

Bei den Gewinnern 1, 2 und 3 können Laptops und Fernseher noch nicht ausgegegangen sein und der Münzwurf bestimmt den Preis.

Wir gehen natürlich von einer Laplacemünze aus mit der Wahrscheinlichkeit für Kopf von %%\frac12%%.

%%\Rightarrow%% P(Gewinner 1 gewinnt Laptop) = P(Gewinner 2 gewinnt Laptop) = P(Gewinner 3 gewinnt Laptop) = %%\frac12%%

Die Wahrscheinlichkeit für einen Laptop bei Gewinner 4:

Für Gewinner 4 gibt es jetzt aber schon mehrere Möglichkeiten. Es kann sein, dass für ihn noch eine Münze geworfen wird, es kann aber auch sein, dass Fernseher oder Laptops bereits nicht mehr verfügbar sind.

Fallunterscheidung anhand der bisherigen Ergebnisse.

Möglichkeit 1: Es sind sowohl Laptops als auch noch Fernseher vorhanden:

P(Gewinner 4 gewinnt Laptop) = %%\frac12%%

Betrachte den Fall, dass bereits alle Laptops verteilt wurden. Damit ist ein Laptop als Gewinn sicher ausgeschlossen.

Möglichkeit 2: Alle Laptops wurden bereits verteilt:

P(Gewinner 4 gewinnt Laptop) = 0

Betrachte den Fall, dass bereits alle Fernseher verteilt wurden. Damit ist ein Laptop sicher.

Möglichkeit 3: Alle Fernseher wurden bereits verteilt

P(Gewinner 4 gewinnt Laptop) = 1

Um die Gesamtwahrscheinlichkeit zu bestimmen, müssen wir nun die einzelnen Wahrscheinlichkeiten mit ihrer Eintrittswahrscheinlichkeit multiplizieren und dann addieren.

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass alle Laptops bereits verteilt wurden.

P(Alle Laptops wurden bereits verteilt) = P(3 mal Zahl bei drei Münzwurfen)

zu Möglichkeit 2:

P(3 mal Zahl bei drei Münzwurfen) = %%\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12=\frac18%%

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass alle Fernseher bereits verteilt wurden.

P(Alle Fernseher wurden bereits verteilt) = P(3 mal Kopf bei drei Münzwurfen)

zu Möglichkeit 3:

P(3 mal Kopf bei drei Münzwurfen) = %%\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12=\frac18%%

Die restliche Wahrscheinlichkeit ergibt sich als 1 abzüglich der Wahrscheinlichkeit, dass alle Laptops verteilt sind und abzüglich der Wahrscheinlichkeit, dass alle Fernseher verteilt sind.

zu Möglichkeit 1:

P(Es wird noch eine Münze geworfen) = P(Es sind weder alle Laptops verteilt noch alle Fernseher) = 1 - P(Alle Laptops verteilt) - P(Alle Fernseher verteilt) = %%1-\frac18-\frac18=\frac34%%

Berechne anhand dieser Ergebnisse die Wahrscheinlichkeit, dass Gewinner 4 einen Laptop gewinnt.

P(Gewinner 4 gewinnt Laptop) = %%\frac34\cdot\frac12\;+\;\frac18\;\cdot\;0+\;\frac18\;\cdot\;1\;=\;\frac12%%

Wie man im Beispiel von Gewinner 4 sehen kann, ist es gleichwahrscheinlich, ob bereits alle Laptops oder alle Fernseher verteilt wurden. Das eine Ereignis impliziert eine 0%ige Chance, das andere eine 100%ige. Auch beim 5. oder 6. Gewinner, ist es gleichwahrscheinlich, ob alle Fernseher oder alle Laptops bereits verteilt wurden. Das liegt daran, dass bei einer Münze Kopf und Zahl gleich wahrscheinlich sind.

Nehmen wir an, die Wahrscheinlichkeit, dass alle Laptops verteilt sind sei beim 5. Gewinner gleich A.

Dann ist die Gewinnwahrscheinlichkeit für Gewinner 5:

%%\mathrm{P(Gewinner \;5 \;gewinnt \;Laptop)}=\underbrace{\mathrm{P(Es \;sind \;noch \;Laptops \;und \;Fernseher \;verfügbar)}}_{1-A-A}\cdot\underbrace{\mathrm{P( Münzwurf)}}_{\frac12}+\underbrace{\mathrm{P(Alle \;Laptops \;sind \;verteilt)}}_{A}\cdot0 + \mathrm{P(Alle \;Fernseher \;sind \;verteilt)}\cdot1%%

%%=\left(1-\mathrm A-\mathrm A\right)\frac12+\mathrm A\;=\;\frac12-\mathrm A+\mathrm A=\frac12%%.

Das Gleiche gilt für Gewinner 6. Die Wahrscheinlichkeit ist also für alle Fälle immer %%\frac12%% .

Alle Gewinner haben somit die gleichen Chancen auf einen Laptop.