%%\begin{array}{rcrcrcc}\;\;x&-&2y&+&3z&=&0\\-x&+&2y&-&3z&=&0\\2x&-&4y&+&6z&=&0\end{array}%%

%%\begin{array}{rcrcrcc}\;\;x&-&2y&+&3z&=&0\\-x&+&2y&-&3z&=&0\\2x&-&4y&+&6z&=&0\end{array}%%

Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.

%%\left(\begin{array}{rrrc}1&-2&3&0\\-1&2&-3&0\\2&-4&6&0\end{array}\right)\overset{\mathrm{1 \cdot I + 1 \cdot II}}{\underset{\mathrm{2 \cdot I - 1 \cdot III}}\longrightarrow} \left(\begin{array}{rrrc}1&-2&3&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right)%%

Aus den beiden unteren Zeilen (Nullzeilen) folgt:
Man kann zwei der drei Variablen frei wählen bzw. muss in einer allgemeinen Lösung Parameter dafür schreiben.

Setze zum Beispiel

%%y=r;\;z=s%%

%%\;%%

… und setze diese Parameter-Werte für y und z in die erste Zeile ein.

%%x-2r+3s=0%%

%%x-2r+3s=0%%

%%\left|{+2r-3s}\right.%%

Löse nach %%x%% auf.

%%x=2r-3s%%

$$\Rightarrow\;\;x=2r-3s;\;y=r;\;z=s$$