%%\begin{array}{rcrcrcr}x&-&2y&+&z&=&-1\\-2x&+&y&+&2z&=&-5\\3x&-&y&+&2z&=&3\\x&-&3y&+&8z&=&-9\end{array}%%

%%\begin{array}{rcrcrcr}x&-&2y&+&z&=&-1\\-2x&+&y&+&2z&=&-5\\3x&-&y&+&2z&=&3\\x&-&3y&+&8z&=&-9\end{array}%%

Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.

%%\left(\begin{array}{rrc|r}1&-2&1&-1\\-2&1&2&-5\\3&-1&2&3\\1&-3&8&-9\end{array}\right)\overset{\mathrm{2 \cdot I + (-2) \cdot II\; , \; 3 \cdot I - 1 \cdot III}}{\underset{\mathrm{1 \cdot I - 1 \cdot IV}} \longrightarrow} \left(\begin{array}{rrc|r}1&-2&1&-1\\0&-3&4&-7\\0&-5&1&-6\\0&1&-7&8\end{array}\right)\overset{\mathrm{5 \cdot II - 3 \cdot III}}{\underset{\mathrm{1 \cdot II + 3 \cdot IV}} \longrightarrow} \left(\begin{array}{rrc|r}1&-2&1&-1\\0&-3&4&-7\\0&0&17&-17\\0&0&-17&17\end{array}\right) %%

Aus der dritten (oder vierten) Zeile folgt:

%%17z=-17%%

%%\left|{:17}\right.%%

%%z=-1%%

%%\;%%

Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.

%%-3y+4\cdot\left(-1\right)=-7%%

%%\;%%

%%-3y-4=-7%%

%%\left|{+4}\right.%%

%%-3y=-3%%

%%\left|{:\left(-3\right)}\right.%%

%%y=1%%

%%\;%%

Setze den gefundenen y- und z-Wert in die erste Zeile ein.

%%x-2-1=-1%%

%%x-3=-1%%

%%\left|{+3}\right.%%

%%x=2%%

$$\Rightarrow\;x=2;\;y=1;\;z=-1$$