%%\begin{array}{rcrcrcr}x&-&3y&+&z&=&4\\-2x&+&4y&-&3z&=&-9\end{array}%%

Gauß-Verfahren

Wende das Gauß-Verfahren auf das folgdende Gleichungssystem an:

%%\begin{array}{rcrcrcr}x&-&3y&+&z&=&4\\-2x&+&4y&-&3z&=&-9\end{array}%%

Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.

%%\left(\begin{array}{rrr|r}1&-3&1&4\\-2&4&-3&-9\end{array}\right)\overset{\mathrm{2 \cdot I + 1 \cdot II}}\longrightarrow \left(\begin{array}{rrr|r}1&-3&1&4\\0&-2&-1&-1\end{array}\right)%%

Aus der zweiten Zeile folgt:

%%-2y-1z=-1%%

%%\;%%

Setze %%z=r%%.

%%-2y-r=-1%%

%%\left|{+r}\right.%%

%%-2y=-1+r%%

%%\left|{:\left(-2\right)}\right.%%

%%y=\dfrac{1-r}2%%

%%\;%%

Setze den gefundenen y- und z-Wert in die erste Zeile ein.

%%\displaystyle x-3\cdot\frac{1-r}2+r=4%%

%%\;%%

Multipliziere die 3 in den Bruch.

%%\displaystyle x-\frac{3-3r}2+r=4%%

%%\displaystyle \left|{+\frac{3-3r}2-r}\right.%%

                         %%\displaystyle x=4+\frac{3-3r}2-r%%

%%\;%%

Bilde den Hauptnenner (hier 2) und erweitere alle Elemente auf diesen.

%%\displaystyle x=\frac82+\frac{3-3r}2-\frac {2r}2%%

%%\displaystyle x=\frac{-5r+11}2%%

$$\Rightarrow x=\frac{-5r+11}2;\;y=\frac{1-r}2;\;z=r$$