7Herleitung der Abbildungsgleichung (2/2)

Zur Wiederholung:

\displaystyle \begin{pmatrix}x' \\ y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x \cos \alpha \\ x \sin \alpha\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}y \cos (90°+ \alpha) \\ y \sin (90° + \alpha)\end{pmatrix}

Jetzt wendet man die Additionstheoreme an, um dies zu vereinfachen.

$\cos (90° + \alpha)= \cos 90°\cdot \cos \alpha - \sin90°\cdot \sin\alpha = -\sin \alpha$
$\sin(90°+ \alpha)= \sin90° \cdot \cos\alpha + \cos90° \cdot \sin \alpha =\cos \alpha$

\displaystyle \begin{pmatrix}x' \\ y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x \cos \alpha \\ x \sin \alpha\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}y \cos (90°+ \alpha) \\ y \sin (90° + \alpha)\end{pmatrix}

Der Punkt $P'$ hat also folgende Koordinaten:

$P'(x\cos\alpha-y\sin\alpha|x\sin\alpha+y\cos\alpha)$

Nun schreibt man das noch in der Matrixschreibweise, um den Ausgangsvektor $\overrightarrow{OP}$ als auch den Bildvektor $\overrightarrow{OP'}$ hervorzuheben:

\displaystyle \begin{pmatrix}x' \\ y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x \cos \alpha \\ x \sin \alpha\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}y \cos (90°+ \alpha) \\ y \sin (90° + \alpha)\end{pmatrix}

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