4Herleitung der Abbildungsgleichung (2/2)

Zur Erinnerung:

$\begin{pmatrix}x' \\ y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a \cos (2 \alpha -\varphi) \\ a \sin (2 \alpha -\varphi)\end{pmatrix}$

Jetzt wendet man die Additionstheoreme an, um dies zu vereinfachen.

$\cos (2 \alpha - \varphi)= \cos 2\alpha\cdot \cos \varphi + \sin 2\alpha\cdot \sin\varphi$

$\sin(2 \alpha -\varphi)= \sin 2\alpha \cdot \cos\varphi - \cos2\alpha \cdot \sin \varphi$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llll}\Rightarrow&\begin{pmatrix}x' \\ y'\end{pmatrix} &=&\begin{pmatrix} a\cos 2\alpha\cdot \cos \varphi + a\sin 2\alpha\cdot \sin\varphi \\ a\sin 2\alpha \cdot \cos\varphi - a\cos2\alpha \cdot \sin \varphi \end{pmatrix} \\&&=& \begin{pmatrix} a \cos \varphi \cdot \cos 2\alpha + a \sin \varphi \cdot \sin 2\alpha \\ a \cos \varphi \cdot \sin 2\alpha - a \sin \varphi\cos2\alpha \end{pmatrix}\end{array}$

Zur Erinnerung:

$x_P=a\cos\varphi_{ }$

$y_P=a \sin \varphi$

Setzt man dies ein, erhält man:

$\begin{pmatrix}x' \\ y'\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x \cdot \cos 2\alpha + y \cdot \sin 2\alpha \\ x \cdot \sin 2\alpha - y \cos2\alpha \end{pmatrix}$

Nun schreibt man das noch in der Matrixschreibweise, um sowohl den ursprünglichen Vektor $\overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ als auch den Bildvektor $\overrightarrow{OP'} = \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$ hervorzuheben:

$\begin{pmatrix}x' \\ y'\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos 2\alpha&+\sin 2\alpha \\ \sin2\alpha&-\cos 2\alpha \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}$

Im Spoiler findet man eine alternative Herleitung: