11Beispiel: Spiegelachse berechnen

Der Bildpunkt $P'(1|2)$ entsteht durch Spiegelung des Urpunktes $P(2|1)$ an einer Ursprungsgeraden $h$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrclc} &x'&=&x\cos(2\alpha)+y\sin(2\alpha)&\\ &\wedge~~y'&=&x\sin(2\alpha)−y\cos(2\alpha)&\\ \\ &1&=&2\cdot \cos(2\alpha)+1\cdot \sin(2\alpha)&(1)\\ &\wedge~~2&=&2\cdot \sin(2\alpha)-1\cdot \cos(2\alpha)&(2)\\ \\ \Rightarrow & \color{#ff6600}\sin(2\alpha)&=&\color{#ff6600}1-2\cdot \cos(2\alpha)&(1') \end{array}$

Nun setzt man $(1')$ in $(2)$ ein und löst nach $\alpha$ auf.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} 2&=&2\cdot({\color{ff6600}1-2\cdot \cos(2\alpha)})-1\cdot \cos(2\alpha)\\ 2&=&2-5\cdot \cos(2\alpha)\\ 0&=&-5\cdot \cos(2\alpha)\\ 0&=&\cos(2\alpha)\\ 2\alpha&=& 90°\\ \alpha&=& 45° \end{array}$

Man hat also den Winkel $\alpha$ bestimmt, unter dem sich die Spiegelachse mit der x-Achse schneidet.

Damit kann man auf die Steigung $m_h$ der Geraden $h$ schließen und somit die Geradengleichung für $h$ aufstellen.