%%g(x)=0.5\cdot(x^2-8x+16)\cdot(x+1)%%

Verlauf von Graph anhand von Nullstellen

Gegeben: %%f(x) = 0{,}5\cdot (x^2 - 8x + 16) \cdot (x+1)%%

Gesucht: Intervalle mit %%f(x) > 0%%

Faktorisiere zuerst den Term. Dies geht hier mit der 2. binomischen Formel %%(a^2 - 2ab + b^2) = (a-b)^2%%.

%%f(x) = 0{,}5 \cdot(x-4)^2 \cdot(x+1)%%

Die Nullstelle bei %%x_1 = 4%% ist eine doppelte Nullstelle, die bei %%x_2=-1%% ist eine einfache.

Bestimme jetzt noch das Vorzeichen in einem Bereich. Zum Beispiel in dem Bereich %%]4, +\infty[%%.

Für %%x%% im Intervall %%]4,+\infty[%% ist %%f(x) > 0%%, denn: $$f(x) = \underbrace{0{,}5}_{>0} \cdot \underbrace{(x-4)^2}_{>0} \cdot \underbrace{x+1}_{>0}$$

Bestimme jetzt den Verlauf mithilfe der Vielfachheiten.

Weil bei %%4%% eine doppelte Nullstelle ist, ändert sich da das Vorzeichen nicht.

Doppelte Nullstelle bei %%x=4%%, also ist der Graph im Intervall %%]-1,4[%% ebenfalls im positiven Bereich.

Weil bei %%-1%% eine einfache Nullstelle ist, ändert sich dort das Vorzeichen.

Einfache Nullstelle bei %%x=-1%%, also ist der Graph im Intervall %%]-\infty,-1[%% im negativen Bereich.

Schreibe jetzt noch die Lösung auf.

Lösung: Der Graph ist in den Intervallen %%]-1,4[%% und %%]4,+\infty[%% oberhalb der %%x%%-Achse.