Springe zum Inhalt oder Footer
SerloDie freie Lernplattform

16Koordinatenform in Normalform

Nachdem die Koordinatenform und die Normlaform sich sehr ähnlich sind, geht die Umwandlung von der Koordinatenform zur Normalform sehr schnell.

Ziel ist es am Ende eine Ebenengleichung der Form E:n(XA)E:\vec{n}\circ(\vec{X}-\vec{A}) zu haben.

Schaue dir die Umwandlung anhand der Beispiel Ebene EE an:

E:2x15x2+x34=0E:2\cdot x_1-5\cdot x_2+x_3-4=0

Du kannst nun direkt den Normalenvektor n\vec{n} auslesen. n=(251)\vec{n} = \begin{pmatrix}2\\-5\\1\end{pmatrix}. Du weißt wenn du die Normalenform ausmultiplizierst, entstehen die x1x_1, x2x_2 und x3x_3 durch das Skalarprodukt von n\vec{n} und X\vec{X}. Die 4-4 der Ebene EE entstehen also aus dem Skalarprodukt von n\vec{n} und A\vec{A}. Du kannst dir zwei der drei Koordinaten des Punktes A\vec{A} frei wählen und die dritte ausrechnen, so dass bei dem Skallarprodukt 4-4 als Ergebnis rauskommt.

So kannst du zum Beispiel wählen: a1=1a_1 = 1 und a2=2a_2 =2 und erhälst folgende Gleichung:

nA=4\vec{n}\circ\vec{A}=-4

n1a1n2a2n3a3=4-n_1\cdot a_1-n_2\cdot a_2-n_3\cdot a_3=-4

2a1+5a21a3=4-2\cdot a_1+5\cdot a_2-1\cdot a_3=-4

21+521a3=4-2\cdot 1+5\cdot 2-1\cdot a_3=-4

81a3=48-1\cdot a_3=-4

a3=12a_3=12

Die Normalenform lautet also:

E:(251)(X(1212))E:\begin{pmatrix}2\\-5\\1\end{pmatrix}\circ(\vec{X}-\begin{pmatrix}1\\2\\12\end{pmatrix})


Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0Was bedeutet das?