%%\sim%% ist eine Äquivalenzrelation

  • %%\sim%% ist reflexiv: Sei %%x\in M%% beliebig. Da die Vereinigung aller Mengen von %%P%% die Grundmenge ergibt, gibt es eine Menge %%A\in P%% mit %%x\in A%%. Damit ist $$\left(\exists A\in P: x,x\in A\right) \Rightarrow x\sim x$$

  • %%\sim%% ist symmetrisch: Sei %%x,y\in M%% beliebig. Es ist $$\begin{align} x\sim y & \Leftrightarrow \exists A\in P: x,y\in P \\[0.3em] & \Leftrightarrow \exists A\in P: y,x\in P \\[0.3em] & \Leftrightarrow y\sim x \end{align}$$

  • %%\sim%% ist transitiv: Sei %%x,y,z\in M%% mit %%x\sim y%% und %%y\sim z%%. Dann gibt es ein %%A\in P%% und ein %%B\in P%% mit %%x,y\in A%% und %%y,z\in B%%. Damit ist %%A\cap B\ne \emptyset%%, da %%y%% sowohl ein Element von %%A%% als auch ein Element von %%B%% ist. Da %%P%% eine Partition ist, muss %%A=B%% sein. Daraus folgt %%x,z\in A=B%% und damit %%x\sim z%%.