%%\forall A\in P:\forall x\in A: [x]=A%%

Sei %%A\in P%% und %%x\in A%% beliebig.

  • '%%\subseteq%%': Sei %%y\in [x]%% beliebig, also %%x\sim y%%. Dann gibt es ein %%B\in P%% mit %%x,y\in B%%. Da %%x\in A%% und %%x\in B%% ist, ist %%A\cap B\ne\emptyset%%. Daraus folgt %%A=B%%, weil verschiedene Mengen von %%P%% disjunkt sind. Damit ist %%y\in B=A%%, was zu beweisen war.
  • '%%\supseteq%%': Sei %%y\in A%% beliebig. Damit ist sowohl %%x%% als auch %%y%% ein Element von %%A%% und damit %%y\sim x%%. Daraus folgt %%y\in [x]%%. Da %%y\in A%% beliebig war, ist %%A\subseteq[x]%%.

Hieraus folgt, dass %%[x]=A%% ist.