Bestimme die Tangente an die Funktion an der Stelle $$x=0$$

$$f(x)=\frac{x+1}{x^2-4}$$

Für die Tangente benötigt man eine Steigung. Dafür berechnet man die Ableitung.

$$f'(x)=\frac{1\cdot(x^2-4)-2x(x+1)}{(x^2-4)^2}=\frac{-x^2-2x-4}{(x^2-4)^2}$$

Für die Tangente an der Stelle $$x=0$$ benötigt man die Ableitung an der Stelle. Setze 0 in die Ableitung ein.

$$f'(0)=\frac{-0^2-2\cdot0-4}{(0^2-4)^2}=\frac{-4}{16}=-\frac{1}{4}$$

Nachdem man die Steigung weiß, benötigt man noch die vollständigen Koordinaten des Punktes. Dafür setzt man den x-Wert in die Funktion ein.

$$f(0)=\frac{0+1}{0^2-4}=-\frac{1}{4}$$

Nun kann man Steigung und Punkt in die Tangentengleichung einsetzen.

$$y=mx+t$$ $$-\frac{1}{4}=-{\frac{1}{4}}\cdot0+t$$

Löse nach t auf.

$$t=-\frac{1}{4}$$

Die Tangentengleichung lautet $$y=-\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}$$