Beweise, dass das Graffiti %%3%% drei gleich große Teilflächen enthält und die drei anderen im Verhältnis %%3\,:\,6\,:\,8%% stehen.

Für die Zerlegung des Parallelogramms %%ABCD%% gilt:

  1. Die Höhe %%[h_a] %% wird durch %%[EF]%% halbiert.

  2. %%\displaystyle \overline {DG}=\frac{3}{4}\cdot a\;\text{und}\;\overline {GC}= \frac{1}{4} \cdot a%%

  3. %%\displaystyle \overline {EH}=\frac{5}{8} \cdot a\;\text{und}\; \overline{HF}=\frac{3}{8} \cdot a%%

Hilfreiche Vorkenntnis zum Beweis:

Flächeninhalt des Trapezes $$\displaystyle A_{Trapez}=\frac{a+b}{2}\cdot h$$

%%\quad \quad%%

$$\quad \quad \quad\displaystyle m=\frac{a+b}{2}$$

Behauptung

Drei Flächenteile sind flächengleich, die restlichen stehen im Verhältnis $$3\;:\;6\;:\;8$$

Der Beweis

Für %%A_{Trapez\,HFCG}%% gilt:

%%\begin {align}\displaystyle A_{Trapez}&=\frac{\frac{3}{8} \cdot a+ \frac{1}{4} \cdot a}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot h_a\\ A_{Trapez}&= \frac{5}{32}\cdot (a\cdot h_a)=\color{red}{\frac{5}{32}}\cdot A_{P.gramm}\end {align}%%

Für %%A_{\triangle\,HGE}%% gilt:

%%\displaystyle A_{\triangle\,HGE}=\frac {1}{2}\cdot\frac{5}{8}a\cdot (\frac{1}{2}h_a)=\color{red}{\frac{5}{32}}\cdot A_{P.gramm}%%

Für %%A_{\triangle\,AEH}%% gilt:

%%\displaystyle A_{\triangle\,AEH}=\frac{1}{2}\cdot \frac{5}{8}a \cdot (\frac{1}{2}h_a) = \color{red}{\frac{5}{32}} \cdot A_{P.gramm}%%

Damit sind die drei flächengleichen Teilflächen gefunden:

Das Trapez %%HFCG%% (türkis) und die Dreiecke %%HGE%% (orange) und %%AEH%% (rot) sind flächengleich.

Für %%A_{\triangle\,EGD}%%gilt:

%%\displaystyle A_{\triangle\,EGD}=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}a \cdot(\frac{1}{2}h_a)=\color{red}{\frac{3}{16}}\cdot A_{P.gramm}%%

Für %%A_{\triangle\,ABH} gilt:%%

%%\displaystyle A_{\triangle\,ABH}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot (\frac{1}{2}h_a)=\color{red}{\frac{1}{4}}\cdot A_{P.gramm}%%

Für %%A_{\triangle\ BFH}%% gilt:

%%\displaystyle A_{\triangle\ BFH}=\frac{1}{2} \cdot\frac{3}{8}a \cdot (\frac{1}{2}h_a)= \color{red}{\frac{3}{32}} \cdot A_{P.gramm}%%

Bringe zum direkten Vergleich der Dreiecke die Bruchteile $$\frac{3}{16},\;\frac{1}{4},\;\frac{3}{32}$$ auf den gemeinsamen Nenner %%32%% und ordne der Größe nach.

%%\displaystyle A_{\triangle\, BFH}=\frac{3}{32} \cdot A_{P.gramm}\;<\; A_{\triangle\,EGD}=\frac{6}{32}\cdot A_{P.gramm}\;<\; A_{\triangle\,ABH}=\frac{8}{32}\cdot A_{P.gramm}%%

Damit stehen die restlichen Dreiecke des Parallelogramms in folgendem Verhältnis: $$3\,(\text{grün})\;:\;6\;\text{(lila)}\;:\;8\;\text{(braun)}$$

Anmerkungen zum Beweis

  • Auf die Berechnung des Flächenteils des Trapezes kann man auch verzichten (wenn man z.B. die Flächenformel für das Trapez doch nicht kennt!), indem man die Flächenanteile aller fünf Dreiecke addiert und die Summe vom Flächenteil %%1%% (des Parallelogramms) abzieht. Allerdings erkennt man auf diese Weise die drei gleich großen Flächen erst am Schluss.

  • Zum Beweis wird die Form und die Größe des Parallelogramms nicht benötigt. Am nachfolgenden Applet kannst du dich davon überzeugen, dass die behaupteten Flächenverhältnisse tatsächlich von der Form des Parallelogramms unabhängig sind. Verschiebe dazu auf beliebige Weise den blauen Eckpunkt %%C%% des Parallelogramms.

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