Wie viele Lösungen hat folgendes Gleichungssystem?

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{I} &\frac{9}{2}x&-&\frac{3}{2}y&=&3\\ \mathrm{II} &3x& = &2&+&y\\ \end{array}%%

Nein. Die Gleichungen sehen zwar auf den ersten Blick verschieden aus, aber wenn du sie umformst, siehst du, dass sie identisch sind!

Wenn du die Gleichungen umformst, siehst du, dass sie identisch sind!

Diese Lösung ist nicht richtig.

Die Lösung ist richtig!

Fast. Das sind noch nicht alle richtigen Antworten!

Du zeigst, dass die Gleichungen %%\mathrm{I}%% und %%\mathrm{II}%% äquivalent sind. Das heißt, jedes %%x%% und %%y%%, das Gleichung %%\mathrm{I}%% löst, liefert auch für Gleichung %%\mathrm{II}%% eine wahre Aussage.

Eine Möglichkeit, dies zu zeigen, ist das Einsetzungsverfahren.

%%\;%%

Stelle zunächst Gleichung %%\mathrm{II}%% nach y um.

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{II} &3x& = &2&+&y\\ \end{array}%%

%%|-2%%

%%\begin{array}{lrll} \mathrm{II}' &3x&-&2& = &y\\ \end{array}%%

%%\;%%

Setze nun %%\mathrm{II}'%% in Gleichung %%\mathrm{I}%% ein. Du erhältst die neue Gleichung %%\mathrm{I'}%%.

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{I'} &\frac{9}{2}x&-&\frac{3}{2}(3x - 2)&=&3\\ \end{array}%%

Fasse die linke Seite der Gleichung zusammen.

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{I'} &3&=&3\\ \end{array}%%

Die Gleichung %%\mathrm{I'}%% ist wahr und zwar unabhängig von %%x%%. Es gibt also unendlich viele Lösungen.

%%\mathbb{L}=\{(x|y)|\;y=3x-2\}%%