Wie viele Lösungen hat folgendes lineares Gleichungssystem?

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{I} &2x&+&y&=&\frac56\\ \mathrm{II} &x&-&2y& = &2\\ \end{array}%%

Versuche nochmal das Gleichungssystem zu lösen. Entsteht dabei wirklich eine falsche Aussage (wie z. B. %%5=7%%)? Wenn nicht, dann gibt es mindestens eine Lösung!

Die Gleichungen sind (auch nach Umformungen) nicht identisch!

Diese Lösung ist nicht richtig.

Die Lösung ist richtig!

Fast. Das sind noch nicht alle richtigen Antworten!

Ein Lineares Gleichungssystem hat genau eine Lösung, wenn es eindeutig nach %%x%% und %%y%% aufgelöst werden kann.

Um das herauszufinden, bietet sich das Einsetzungsverfahren an, da man zum Beispiel Gleichung %%\mathrm{I}%% sehr einfach nach %%y%% umstellen kann.

%%\;%%

Stelle zunächst Gleichung %%\mathrm{I}%% nach y um.

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{I} &2x&+&y& = &\frac{5}{6}\\ \end{array}%%

%%|-2x%%

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{I'} &y& = &\frac{5}{6}&-&2x\\ \end{array}%%

%%\;%%

Setze nun %%\mathrm{I'}%% in Gleichung %%\mathrm{II}%% ein. Du erhältst die neue Gleichung %%\mathrm{II'}%%.

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{II'} &x&-&2(\frac56 - 2x)&=&2\\ \end{array}%%

Fasse die linke Seite zusammen.

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{II'} &5x&-&\frac53&=&2\\ \end{array}%%

Löse nach %%x%% auf.

%%x = \frac{11}{15}%%

%%\;%%

%%x = \frac{11}{15}%% zum Beispiel in Gleichung %%\mathrm{I}%% ein, um %%y%% zu bestimmen.

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{I} &2\cdot(\frac{11}{15})&+&y& = &\frac{5}{6}\\ \end{array}%%

Löse nach %%y%% auf.

%%y = -\frac{19}{30}%%

%%\;%%

Es gibt also genau eine Lösung.