Aufgabe 1 - Aufgabenstellung

%%1%% Gegeben ist die in %%\mathbb{R}%% definierte Funktion %%f: x \mapsto \; e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}%%. Der Graph von %%f%% wird mit %%G_f%% bezeichnet.

%%a)%% Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von %%G_f%% mit der %%y%%-Achse und begründen Sie, dass %%G_f%% oberhalb der %%x%%-Achse verläuft. (2 BE)

%%b)%% Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten von %%G_f%% sowie das Verhalten von %%f%% für %%x \to -\infty%% und für %%x \to \infty%%. (3 BE)

%%c)%% Zeigen Sie, dass für die zweite Ableitung %%f''%% von %%f%% die Beziehung %%f''(x)=\frac{1}{4}\cdot f(x)%% für %%x\in \mathbb{R}%% gilt. Weisen Sie nach, dass %%G_f%% linksgekrümmt ist. (4 BE)

%%\rightarrow%% Zur Kontrolle: %%f'(x)=\frac{1}{2}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}x}-e^{-\frac{1}{2}x}\right)%%

%%d)%% Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von %%G_f%%. (3 BE)

%%e)%% Berechnen Sie die Steigung der Tangente %%g%% an %%G_f%% im Punkt %%P(2|f(2))%% auf eine Dezimale genau. Zeichnen Sie den Punkt %%P%% und die Gerade %%g%% in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf das Folgende: %%-4\leq x\leq4%%, %%-1 \leq y \leq 9%%). (3 BE)

%%f)%% Berechnen Sie %%f(4)%%, im Hinblick auf eine der folgenden Aufgaben auf zwei Dezimalen genau, und zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse %%G_f%% im Bereich %%-4 \leq x \leq 4%% in das Koordinatensystem aus Aufgabe 1e ein. (4 BE)

%%g)%% Zeigen Sie durch Rechnung, dass für %%x \in \mathbb{R}%% die Beziehung %%\quad \frac{1}{4}\cdot [f(x)]^2-[f'(x)]^2=1%% gilt. (3 BE)

Die als Kurvenlänge %%L_{a;b}%% bezeichnete Länge des Funktionsgraphen von %%f%% zwischen den Punkten %%(a|f(a))%% und %%(b|f(b))%% mit %%a<b%% lässt sich mithilfe der Formel %%L_{a;b}=\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\text{d}x%% berechnen.

%%h)%% Bestimmen Sie mithilfe der Beziehung aus Aufgabe %%1g%% die Kurvenlänge %%L_{0;b}%% des Graphen von %%f%% zwischen den Punkten %%(0|f(0))%% und %%(b|f(b))%% mit %%b>0%%. (4 BE) $$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad(\text{Ergebnis: } L_{0;b}=e^{\frac{1}{2}b}-e^{-\frac{1}{2}b}\text{)}$$

Tipps und Hinweise

Insgesamt hast du für den Prüfungsteil B 180 Minuten Zeit. Da der Analysis Teil die Hälfte der Punkte gibt, kannst du auch ungefähr die Hälfte der Zeit für diesen Teil einplanen. Aufgabe 1 umfasst ungefähr %%\frac{2}{3}%% der Punkte, also hast du ungefähr 60 Minuten Zeit für 26 Punkte, d.h. ungefähr 2 Minuten für einen Punkt.
Mach dir keine Sorgen, lies vor allem genau und beachte genau, welche Informationen du benötigst und welche nicht.

Probiere es doch erst einmal selbst. Die Lösungen findest du dann Schritt für Schritt auf den nächsten Seiten.

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