Lösung 1a

Aufgabenstellung

%%1%% Gegeben ist die in %%\mathbb{R}%% definierte Funktion %%f: x \mapsto \; e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}%%. Der Graph von %%f%% wird mit %%G_f%% bezeichnet.

%%a)%% Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von %%G_f%% mit der %%y%%-Achse und begründen Sie, dass %%G_f%% oberhalb der %%x%%-Achse verläuft. (2 BE)

Lösung

Schnittpunkt mit der %%y%%-Achse

Bestimme den Schnittpunkt mit der %%y%%-Achse, indem du %%x=0%% in die Funktion einsetzt.

%%f(0)=e^{\frac{1}{2}\cdot 0}+e^{-\frac{1}{2}\cdot 0}%%

Überlege, welche Auswirkungen der Exponent %%0%% hat.

%%f(0)=1+1=2%%

Der %%y%%-Achsenabschnitt ist also %%2%%.

Achte aber genau auf die Fragestellung! Gesucht ist der Schnittpunkt, diesen musst du noch mit seinen Koordinaten angeben.

%%SP=(0|2)%%

Begründung des Verlaufes oberhalb der %%x%%-Achse

Die Exponentialfunktion verläuft immer oberhalb der %%x%%-Achse. Dies gilt auch wenn man eine negative Zahl für %%x%% einsetzt. So verlaufen auch %%e^{\frac{1}{2}x}%% und %%e^{-\frac{1}{2}x}%% oberhalb der %%x% %%-Achse. Dies gilt folglich auch für die Summe %%e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}%%.

Stelle sicher, dass du weißt, welche Auswirkungen verschiedene Exponenten und Vorfaktoren auf den Verlauf der Exponentialfunktion haben.

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