Aufgabengruppe 1

Ein Getränkehersteller führt eine Werbeaktion durch, um die Verkaufszahlen seiner Saftschorlen zu erhöhen. Bei %%100 \; 000%% der für die Werbeaktion produzierten zwei Millionen Flaschen wird auf der Innenseite des Verschlusses eine Marke für einen Geldgewinn angebracht. Von den Gewinnmarken sind %%12 \; 000%% jeweils %%5%% € wert, der Rest ist jeweils %%1%% € wert. Alle Flaschen der Werbeaktion werden zufällig auf Kästen verteilt. Im Folgenden werden nur Flaschen aus der Werbeaktion betrachtet.

Es wird eine Flasche geöffnet. Betrachtet werden folgende Ereignisse:

%%A%%: „Der Verschluss enthält eine Gewinnmarke.“

%%B%%: „Der Verschluss enthält eine Gewinnmarke im Wert von %%1%% €.“

%%a)%% Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten %%P(A)% %% und %%P(B)%%.

%%b)%% Es werden mehrere Flaschen geöffnet und für jede dieser Flaschen wird festgestellt, ob das Ereignis %%A%% eintritt. Begründen Sie, dass dieses Zufallsexperiment näherungsweise durch eine Bernoullikette beschrieben werden kann.

Im Folgenden gilt beim Öffnen einer Flasche stets %%P(A)=0,05%% und %%P(B)=0,044%%.

%%c)%% Es werden nacheinander zehn Flaschen geöffnet. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich erstmals in der fünften Flasche eine Gewinnmarke befindet. (2 BE)

%%d)%% Bestimmen Sie unter Zuhilfenahme des Tafelwerks, wie viele Flaschen man mindestens öffnen muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als %%5%% % mindestens zwei Gewinnmarken zu finden. (4 BE)

%%e)%% Berechnen Sie den Gesamtwert der Gewinnmarken, die Kunden beim Öffnen der %%20%% Flaschen eines Kastens im Mittel in den Verschlüssen finden. (3 BE)

Nachdem die zwei Millionen Flaschen verkauft sind, wird die Werbeaktion fortgesetzt. Der Getränkehersteller verspricht, dass weiterhin jede %%20.%% Flasche eine Gewinnmarke enthält. Aufgrund von Kundenäußerungen vermutet der Filialleiter eines Getränkemarkts jedoch, dass der Anteil der Saftschorle-Flaschen mit einer Gewinnmarke im Verschluss nun geringer als %%0,05%% ist, und beschwert sich beim Getränkehersteller.

%%2.%% Der Getränkehersteller bietet ihm an, anhand von %%200%% zufällig ausgewählten Flaschen einen Signifikanztest für die Nullhypothese „Die Wahrscheinlichkeit dafür, in einer Flasche eine Gewinnmarke zu finden, beträgt mindestens %%0,05%%.“ auf einem Signifikanzniveau von %%1%% % durchzuführen. Für den Fall, dass das Ergebnis des Tests im Ablehnungsbereich der Nullhypothese liegt, verspricht der Getränkehersteller, seine Abfüllanlage zu überprüfen und die Kosten für eine Sonderwerbeaktion des Getränkemarkts zu übernehmen.

Ermitteln Sie den Ablehnungsbereich der Nullhypothese und bestimmen Sie anschließend unter der Annahme, dass im Mittel nur %%3%% % der Saftschorle-Flaschen eine Gewinnmarke enthalten, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Getränkemarkt nicht in den Genuss einer kostenlosen Sonderwerbeaktion kommt. (7 BE)

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