Lösung 1b

Aufgabenstellung

%%1%% Gegeben ist die in %%\mathbb{R}%% definierte Funktion %%f: x \mapsto \; e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}%%. Der Graph von %%f%% wird mit %%G_f%% bezeichnet.

%%a)%% Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von %%G_f%% mit der %%y%%-Achse und begründen Sie, dass %%G_f%% oberhalb der %%x%%-Achse verläuft. (2 BE)

%%b)%% Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten von %%G_f%% sowie das Verhalten von %%f%% für %%x \to -\infty%% und für %%x \to \infty%%. (3 BE)

Lösung

Symmetrieverhalten

Erinnere dich an das Vorgehen zur Bestimmung von Symmetrieverhalten.
Setze für alle %%x%% nun %%\color{red}{-x}%% ein und überprüfe, ob eine der folgenden Gleichheiten gilt.

%%f(\color{red}{-x})=e^{\frac{1}{2}\cdot (\color{red}{-x})}+e^{-\frac{1}{2}\cdot(\color{red}{-x})}%%

%%f(\color{red}{-x})=e^{-\frac{1}{2}x}+e^{\frac{1}{2}x}%%

Du musst nur noch die Summanden vertauschen…

%%f(\color{red}{-x})=e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}%%

… und schon bist du wieder bei der Ausgangsfunktion.
Daraus folgt:

%%f(\color{red}{-x})=f(x)%%

Verhalten minus unendlich

Beachte, dass du Unendlich nicht wirklich in die Funktion einsetzen darfst, da dies keine offizielle Schreibweise ist. Benutze einfach Anführungszeichen, damit bist du auf der sicheren Seite.

$$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=\;"e^{\frac{1}{2}\cdot(-\infty)}+e^{-\frac{1}{2}\cdot(-\infty)}"$$

Was macht das minus Unendlich im Exponenten? Achte auf die Vorzeichen.

$$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=\;"0 \;+\infty "$$

$$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=\infty$$

Verhalten plus unendlich

$$\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\;"e^{\frac{1}{2}\cdot\infty}+e^{-\frac{1}{2}\cdot\infty}"$$

Was macht das Unendlich im Exponenten? Achte auf die Vorzeichen.

$$\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\;"\infty + 0"$$

$$\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\infty$$

Kommentieren Kommentare