Springe zum Inhalt oder Footer
SerloDie freie Lernplattform

2Lösung 1d

Aufgabenstellung

11 Gegeben ist die in R\mathbb{R} definierte Funktion f:x  e12x+e12xf: x \mapsto \; e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}. Der Graph von ff wird mit GfG_f bezeichnet.

 

a)a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von GfG_f mit der yy-Achse und begründen Sie, dass GfG_f oberhalb der xx-Achse verläuft. (2 BE)

 

b)b) Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten von GfG_f sowie das Verhalten von ff für xx \to -\infty und für xx \to \infty. (3 BE)

 

c)c) Zeigen Sie, dass für die zweite Ableitung ff'' von ff die Beziehung f(x)=14f(x)f''(x)=\frac{1}{4}\cdot f(x) für xRx\in \mathbb{R} gilt. Weisen Sie nach, dass GfG_f linksgekrümmt ist. (4 BE)

 

\rightarrow Zur Kontrolle: f(x)=12(e12xe12x)f'(x)=\frac{1}{2}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}x}-e^{-\frac{1}{2}x}\right)

d)d) Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von GfG_f. (3 BE)

Lösung

Lage des Extrempunkts

Du kannst dir jetzt schon überlegen, dass es nur einen einzigen Extrempunkt geben kann, weil der ganze Graph linksgekrümmt ist.

 

Suche den Extrempunkt, indem du die Nullstelle der ersten Ableitung suchst:

Setze f(x)=0f'(x)=0:

 

12(e12xe12x)=02e12xe12x=0+e12xe12x=e12x\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcrl}\frac{1}{2}\cdot&\left(e^{\frac{1}{2}x}-e^{-\frac{1}{2}x}\right)&=& 0 \quad &|\cdot 2\\&e^{\frac{1}{2}x}-e^{-\frac{1}{2}x}&=&0 &|+e^{-\frac{1}{2}x}\\&e^{\frac{1}{2}x}&=&e^{-\frac{1}{2}x}\end{array}

Das Ergebnis ist auf beiden Seiten gleich, wenn die Exponenten gleich sind. Dies kannst du dir entweder aus den Potenzgesetzen herleiten oder du wendest den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten der Gleichung an:

e12x=e12x  ln()12x=12x2x=x\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcrl}&e^{\frac{1}{2}x}&=&e^{-\frac{1}{2}x} \quad &|\;\ln()\\&\frac{1}{2}x &=& -\frac{1}{2}x &|\cdot 2 \\& x & = & -x\end{array}

 

Diese Gleichung ist nur für x=0x=0 erfüllt.

 

Da in a)a) schon der yy-Achsenabschnitt (f(0)=2f(0)=2) berechnet wurde ergibt sich der Extrempunkt EP(02)EP(0|2).

Art des Extrempunkts

In c)c) wurde bereits gezeigt, dass f(x)>0f''(x)>0 ist (dies gilt also insbesondere auch für f(0)f''(0)), also handelt es sich um einen Tiefpunkt.


Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0Was bedeutet das?