Lösung 1b

Aufgabenstellung

Ein Getränkehersteller führt eine Werbeaktion durch, um die Verkaufszahlen seiner Saftschorlen zu erhöhen. Bei %%100 \; 000%% der für die Werbeaktion produzierten zwei Millionen Flaschen wird auf der Innenseite des Verschlusses eine Marke für einen Geldgewinn angebracht. Von den Gewinnmarken sind %%12 \; 000%% jeweils %%5%% € wert, der Rest ist jeweils %%1%% € wert. Alle Flaschen der Werbeaktion werden zufällig auf Kästen verteilt. Im Folgenden werden nur Flaschen aus der Werbeaktion betrachtet.

Es wird eine Flasche geöffnet. Betrachtet werden folgende Ereignisse:

%%A%%: „Der Verschluss enthält eine Gewinnmarke.“

%%B%%: „Der Verschluss enthält eine Gewinnmarke im Wert von 1 €.“

%%a)%% Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten %%P(A)% %% und %%P(B)%%. (2 BE)

%%b)%% Es werden mehrere Flaschen geöffnet und für jede dieser Flaschen wird festgestellt, ob das Ereignis %%A%% eintritt. Begründen Sie, dass dieses Zufallsexperiment näherungsweise durch eine Bernoullikette beschrieben werden kann. (2 BE)

Lösung

Im Urnenmodell betrachtet ist das vorliegende Zufallsexperiment der Fall "Ziehen ohne Zurücklegen". Eine Flasche wird aus der "Urne" gezogen, deren "Farbe" geprüft und anschließend nicht zurückgelegt.

Nun musst du begründen, warum man in diesem Fall das Zufallsexperiment auch als "Ziehen mit Zurücklegen" betrachten kann.

Beim "Ziehen ohne Zurücklegen" ändert sich im Gegensatz zum "Ziehen mit Zurücklegen" die Wahrscheinlichkeit von Ereignis %%A%% bei jeder Ziehung. Allerdings bleibt hier die Wahrscheinlichkeit von Ereignis %%A%% selbst nach mehreren Ziehungen näherungsweise konstant.

Um das zu sehen, betrachtest du zum Beispiel %%20%% gezogene und mit Gewinnkorken versehene Flaschen. Das ist der schlimmst mögliche Fall, der eintreten kann und die Wahrscheinlichkeit von Ereignis %%A%% maximal ändert.

Du berechnest nun das Ereignis %%A%% für eine %%21.%% Flasche.

$$P(A) = \frac{100 \; 000-20}{2 \; 000\; 000-20} \approx 0,05$$

Es folgt: %%P(A)%% ist bei kleiner Anzahl gezogener Flaschen konstant. Das Zufallsexperiment kann auch als "Ziehen mit Zurücklegen" betrachtet werden, deren Wahrscheinlichkeitsfunktion eine Bernoullikette ist.

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