Aufgabenstellung

%%1%% In einem kartesischen Koordinatensystem legen die Punkte %%A(6|3|3)%%, %%B(3|6|3)%% und %%C(3|3|6)%% das gleichseitige Dreieck %%ABC%% fest.

a) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E, in der das Dreieck %%ABC%% liegt, in Normalform. %%(4 BE)%%

Spiegelt man die Punkte %%A%%, %%B%% und %%C%% am Symmetriezentrum %%Z(3|3|3)%%, so erhält man die Punkte %%A'%%, %%B'%% bzw. %%C'%%.

b) Beschreiben Sie die Lage der Ebene, in der die Punkte %%A%%, %%B%% und %%Z%% liegen, im Koordinatensystem. Zeigen Sie, dass die Strecke %%[CC']%% senkrecht auf diese Ebene steht. %%(3 BE)%%

c) Begründen Sie, dass das Viereck %%ABA' B'%% ein Quadrat mit der Seitenlänge %%3\sqrt 2%% ist. %%(4 BE)%%

Der Körper %%ABA'B'CC'%% ist ein sogenanntes Oktaeder. Er besteht aus zwei Pyramiden mit dem Quadrat %%ABA' B'%% als gemeinsamer Grundfläche und den Pyramidenspitzen %%C%% bzw. %%C'%%.

d) Weisen Sie nach, dass das Oktaeder das Volumen %%36\ VE%% besitzt. %%(2 BE) %% e) Bestimmen Sie die Größe des Winkels zwischen den Seitenflächen %%ABC%% und %%AC'B%%. %%(4 BE)%%

f) Alle Eckpunkte des Oktaeders liegen auf einer Kugel. Geben Sie eine Gleichung dieser Kugel an.
Berechnen Sie den Anteil des Oktaedervolumens am Kugelvolumen. %%(3 BE)%%

Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

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