Lösung 1e

Aufgabenstellung

Ein Getränkehersteller führt eine Werbeaktion durch, um die Verkaufszahlen seiner Saftschorlen zu erhöhen. Bei %%100 \; 000%% der für die Werbeaktion produzierten zwei Millionen Flaschen wird auf der Innenseite des Verschlusses eine Marke für einen Geldgewinn angebracht. Von den Gewinnmarken sind %%12 \; 000%% jeweils %%5%% € wert, der Rest ist jeweils %%1%% € wert. Alle Flaschen der Werbeaktion werden zufällig auf Kästen verteilt. Im Folgenden werden nur Flaschen aus der Werbeaktion betrachtet.

Es wird eine Flasche geöffnet. Betrachtet werden folgende Ereignisse:

%%A%%: „Der Verschluss enthält eine Gewinnmarke.“

%%B%%: „Der Verschluss enthält eine Gewinnmarke im Wert von 1 €.“

%%a)%% Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten %%P(A)% %% und %%P(B)%%. (2 BE)

%%b)%% Es werden mehrere Flaschen geöffnet und für jede dieser Flaschen wird festgestellt, ob das Ereignis %%A%% eintritt. Begründen Sie, dass dieses Zufallsexperiment näherungsweise durch eine Bernoullikette beschrieben werden kann. (2 BE)

Im Folgenden gilt beim Öffnen einer Flasche stets %%P(A)=0,05%% und %%P(B)=0,044%%.

%%c)%% Es werden nacheinander zehn Flaschen geöffnet. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich er stmals in der fünften Flasche eine Gewinnmarke befindet. (2 BE)

%%d)%% Bestimmen Sie unter Zuhilfenahme des Tafelwerks, wie viele Flaschen man mindestens öffnen muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als %%5%% % mindestens zwei Gewinnmarken zu finden.

%%e)%% Berechnen Sie den Gesamtwert der Gewinnmarken, die Kunden beim Öffnen der %%20%% Flaschen eines Kastens im Mittel in den Verschlüssen finden. (3 BE)

Lösung

Dieser Aufgabenteil fragt nach dem Mittel des Gesamtwertes der Marken bei %%20%% Flaschen. "Im Mittel" gibt dir das Stichwort Erwartungswert.

Aus diesem Grund musst du eine Zufallsvariable definieren, dessen Erwartungswert du bestimmen sollst. Diese Zufallsvariable soll den Geldgewinn durch Gewinnmarken angeben:

%%Y%%: Geldgewinn durch Gewinnmarken bei %%20%% Flaschen

Dies gestaltet sich als relativ schwierig. Du solltest deshalb für jede gezogene Flasche %%i \; (1\leq i \leq 20)%% eine weitere Zufallsgröße definieren:

%%Y_i:%% Geldgewinn durch Gewinnmarke bei Flasche %%i%%.

Nach Annahme gilt für alle %%i%% Flaschen:

  • Die Zufallsgröße nimmt mit Wahrscheinlichkeit %%0,95%% den Wert %%\color{#CC0000}{0}%% (die Flasche enthält keine Gewinnmarke),
  • mit Wahrscheinlichkeit %%0,044%% den Wert %%\color{#CC0000}{1}%% (die Flasche enthält eine Gewinnmarke im Wert von %%1%% €) und
  • mit Wahrscheinlichkeit %%0,05 - 0,044 = 0,006%% den Wert %%\color{#CC0000}{5}%% (die Flasche enthält eine Gewinnmarke im Wert von %%5%% €) an.

Du schreibst dir das am besten in eine übersichtliche Tabelle:

%%Y_i%%

%%\color{#CC0000}{0}%%

%%\color{#CC0000}{1}%%

%%\color{#CC0000}{5}%%

0,95

0,044

0,006

Nun berechnest du für ein beliebiges %%Y_i%% den Erwartungswert mittels der Formel aus der Merkhilfe.

Es gilt:

$$E(Y_i) = \color{#CC0000}{0} \cdot 0,95 + \color{#CC0000}{1} \cdot 0,044 +\color{#CC0000}{5} \cdot 0,006 = 0,074$$

Du möchtest jetzt aber wissen, wie groß der Erwartungswert von %%Y%% ist. Da alle %%Y_i%% den gleichen Erwartungswert haben, multiplizierst du dazu den Erwartungswert %%E(Y_i)%% mit %%20%%.

$$E(Y)=20\cdot E(Y_i)=20\cdot 0,074 = 1,48$$

Antwort: Im Durchschnitt erhältst du bei %%20%% Flaschen einen Gesamtwert der Gewinnmarken von %%1,48%% €.

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