Lösung 1

Aufgabenstellung

%%1.%% Nach einem Bericht zur Allergieforschung aus dem Jahr 2008 litt damals in Deutschland jeder vierte bis fünfte Einwohner an einer Allergie. 41 % aller Allergiker reagierten allergisch auf Tierhaare. Kann aus diesen Aussagen gefolgert werden, dass 2008 mindestens 10 % der Einwohner Deutschlands auf Tierhaare allergisch reagierten? Begründen Sie Ihre Antwort. (3 BE)

Lösung

Betrachte folgende Ereignisse:

%%A:%% Einwohner ist Allergiker.

%%B:%% Einwohner ist gegen Tierhaare allergisch.

Wir wissen bereits aus den Informationen im Text:

%%P(A)_{min} = 0,2%% bis %%P(A)_{max} = 0,25%%

("…jeder vierte bis fünfte Einwohner…Allergie.")

%%P_A(B) = 0,41%%

("…41 Prozent aller Allergiker…Tierhaare.")

Du möchtest nun wissen, ob gilt:

%%P(B) \geq 0,1%%

("…10 Prozent der Einwohner…Tierhaare allergisch.")

Berechne nun zunächst die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses %%A\cap B%% (Einwohner ist Allergiker und gegen Tierhaare allergisch).

Für bedingte Wahrscheinlichkeiten gilt:

$$P_A(B) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)} \Leftrightarrow P(A\cap B) = P(A)\cdot P_A(B)$$

Du rechnest nun die maximale und minimale Wahrscheinlichkeit von %%P(A\cap B)%% aus, in dem du jeweils %%P(A)_{min}%% bzw. %%P(A)_{max}%% für %%P(A)%% in die Formel von oben einsetzt. Es folgt:

$$P(A\cap B)_{min} = 0,2\cdot 0,41 =0,82 = 8,2 \text{ %}$$

$$P(A\cap B)_{max} = 0,25\cdot 0,41 =0,1025 = 10,25 \text{ %}$$

Im vorliegenden Fall gilt weiter die Beziehung %%P(A\cap B) = P(B)%%, da das Ereignis %%P(\overline{A}\cap B)%% die Wahrscheinlichkeit %%0%% hat (jeder Tierhaarallergiker ist schließlich allergisch). Solltest du das nicht sehen, dann kannst du auch mit einer Vierfeldertafel darauf kommen.

Es gilt also:

$$P(B)_{min} = 8,2 \text{ %}$$

$$P(B)_{max} = 10,25 \text{ %}$$

Antwort: Aus den beiden Aussagen kann nicht gefolgert werden, dass mindestens %%10%% Prozent aller Einwohner auf Tierhaare allergisch sind.

Kommentieren Kommentare