Lösung 2a

Aufgabenstellung

%%2.%% Nach einer aktuellen Erhebung leiden %%25%% % der Einwohner Deutschlands an einer Allergie. Aus den Einwohnern Deutschlands werden %%n%% Personen zufällig ausgewählt.

%%a%%) Bestimmen Sie, wie groß %%n%% mindestens sein muss, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als %%99%% % mindestens eine der ausgewählten Personen an einer Allergie leidet. (4 BE)

Lösung

Definiere zunächst eine geeignete Zufallsgröße:

%%X:%% Anzahl der Personen mit Allergie unter %%n%% Einwohner.

Es gilt: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person eine Allergie hat, beträgt %%0,25%%. Weiter handelt es sich beim vorliegenden Zufallsexperiment im Urnenmodell betrachtet um den Fall "Ziehen mit Zurücklegen".

Aus diesen Überlegungen folgt, dass die Zufallsgröße %%X%% binomialverteilt ist mit den Parametern %%n%% und %%0,25%%.

Nun möchtest du %%n%% bestimmen, so dass gilt:

$$P(X\geq 1) > 0,99$$

Mit der Beziehung %%P(X\geq 1) = 1 - P(X=0)%% folgt:

$$P(X = 0) < 0,01$$

Nun setzt du für %%P(X=0)%% die entsprechende Bernoulli-Kette ein.

Du erhältst:

%%\binom{n}{0}\cdot 0,25^0\cdot 0,75^{n-0} < 0,01%%

Nun muss noch nach %%n%% aufgelöst werden:

%%0,75^{n-0} < 0,01%%

%%|\ln%%

%%\ln{0,75^{n}} < \ln{0,01}%%

Logarithmenregeln

%%n\cdot\ln{0,75} < \ln{0,01}%%

Achtung: Vorzeichen drehen sich bei der Multiplikation mit negativen Zahlen um.

%%n > \frac{\ln{0,01}}{\ln{0,75}} = 16,01%%

Antwort: Man benötigt mindestens %%17%% Personen.

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