Lösung 2b

Aufgabenstellung

%%2.%% Nach einer aktuellen Erhebung leiden %%25%% % der Einwohner Deutschlands an einer Allergie. Aus den Einwohnern Deutschlands werden %%n%% Personen zufällig ausgewählt.

%%a%%) Bestimmen Sie, wie groß %%n%% mindestens sein muss, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als %%99%% % mindestens eine der ausgewählten Personen an einer Allergie leidet. (4 BE)

%%b%%) Im Folgenden ist %%n=200%%. Die Zufallsgröße %%X%% beschreibt die Anzahl der Personen unter den ausgewählten Personen, die an einer Allergie leiden. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert der binomialverteilten Zufallsgröße %%X%% höchstens um eine Standardabweichung von ihrem Erwartungswert abweicht. (5 BE)

Lösung

Du entnimmst aus der Aufgabenstellung, dass %%X%% die Wahrscheinlichkeitsfunktion %%B(200;0,25)%% hat.

Du sollst nun die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass %%X%% höchstens um eine Standardabweichung %%\sigma_X%% vom Erwartungswert %%E(X)%% abweicht. Mathematisch ausgedrückt:

$$P(|X-E(X)|\leq \sigma_X)$$

Erwartungswert und Standardabweichung bestimmen

Für den Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße %%Y%% gilt %%E(Y) = n\cdot p%%. Es folgt:

$$E(X) = 200\cdot 0,25 = 50$$

Für die Standardabweichung einer binomialverteilten Zufallsgröße %%Y%% gilt %%\sigma_Y = \sqrt{np(1-p)}%%. Es folgt:

%%\sigma_X = \sqrt{200\cdot0,25\cdot 0,75} = \sqrt{37,5} \approx 6,1%%

Wahrscheinlichkeit ausrechnen

Du formst jetzt %%P(|X-E(X)|\leq \sigma_X)%% um, so dass du das Tafelwerk verwenden kannst.

Es gilt:

%%P(|X-E(X)|\leq \sigma_X) = P(-\sigma_X + E(X)\leq X\leq \sigma_X + E(X)) = P(X\leq \sigma_X + E(X)) - P(X\lt E(X) - \sigma_X)%%

Mit eingesetzten Werten also:

%%P(X\leq 56,1) - P(X\lt 43,9)=P(X\leq 56) - P(X\le 43) = 0,8555 - 0,1438 \approx 0,71%%.

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit beträgt %%71%% Prozent.