2Lösung Aufgabe 2b

Aufgabenstellung

Bei einem Zufallsexperiment wird eine ideale Münze so lange geworfen, bis zum zweiten Mal Zahl $(Z)$ oder zum zweiten Mal Wappen $(W)$ oben liegt. Als Ergebnismenge wird festgelegt: $\{ZZ; \; WW; \; ZWZ; \; ZWW; \; WZZ; \; WZW\}$

a) Begründen Sie, dass dieses Zufallsexperiment kein Laplace-Experiment ist. (2 BE)

Lösung

Die Zufallsgröße $X$ drückt die Anzahl der Münzwurfe für die entsprechenden Ereignisse aus. Das bedeutet, dass man für jedes Element aus der Ergebnismenge jeweils ein Wert für $X$ erhält, der besagt, wie oft die Münze geworfen wurde. Trage alle Ergebnisse zur Übersichtlichkeit in eine Tabelle ein:

Die Wahrscheinlichkeiten $P$ der einzelnen Elementarereignisse hast du bereits in Teilaufgabe a) ausgerechnet. Daraus kannst du die Wahrscheinlichkeit, das Experiment nach zwei und drei Münzwürfen abzubrechen, ausrechnen.

Die Wahrscheinlichkeit für $X=2$ ist:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrl}P(X=2) &= &P(\{ZZ\}) + P(\{WW\}) \\P(X=2) &= &\frac{1}{4} + \frac{1}{4} \\P(X=2) &= &\frac{1}{2}\end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit für $X=3$ ist:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrl}P(X=3) &= &P(\{ZWZ\}) + P(\{ZWW\}) + P(\{WZZ\}) + P(\{WZW\}) \\P(X=3) &= &\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\\P(X=3) &= &\frac{1}{2}\end{array}$

Der Mittelwert, also der Erwartungswert, dieser Zufallsgröße $X$ ergibt sich wie folgt:

$E[X] = x_1 \cdot P(X=x_1) + \ldots + x_n \cdot P(X=x_n)$

Übertrage die Werte aus der Tabelle in die allgemeine Formel und berechne den Wert.

$E[X] = 2 \cdot P(X=2) + 3 \cdot P(X=3)$

$E[X] = 2 \cdot \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{1}{2}$

$E[X] = 1 + \frac{3}{2}$

$E[X] = \frac{5}{2}$

Der Erwartungswert $E$ der Zufallsgröße $X$ ist also $\frac{5}{2}$. In der Sachsituation bedeutet dieser Mittelwert, dass die Münze im Schnitt 2,5 mal geworfen wird.