2Lösung 1d

Aufgabenstellung

$1$ In einem kartesischen Koordinatensystem legen die Punkte $A(6|3|3)$, $B(3|6|3)$ und $C(3|3|6)$ das gleichseitige Dreieck $ABC$ fest. a) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E, in der das Dreieck $ABC$ liegt, in Normalform.

Spiegelt man die Punkte $A$, $B$ und $C$ am Symmetriezentrum $Z(3|3|3)$, so erhält man die Punkte $A'$, $B'$ bzw. $C'$.

b) Beschreiben Sie die Lage der Ebene, in der die Punkte $A$, $B$ und $Z$ liegen, im Koordinatensystem. Zeigen Sie, dass die Strecke $[CC']$ senkrecht auf diese Ebene steht.

c) Begründen Sie, dass das Viereck $ABA' B'$ ein Quadrat mit der Seitenlänge$3\sqrt 2$ ist.

Oktaeder. Er besteht aus zwei Pyramiden mitdem Quadrat $ABA' B'$ als gemeinsamer Grundflächeund den Pyramidenspitzen $C$ bzw. $C'$.

das Volumen $36$ besitzt.

Lösung

Bekannt

• $ABA'B'$ ist ein Quadrat mit Seitenlänge $3\sqrt 2$.

• $Z$ ist der Mittelpunkt dieses Quadrats, da er das Spiegelzentrum ist.

• $\overline{ZC}$ ist die Höhe der Pyramide $ABA'B'C$.

Volumenformel einer Pyramide:$V= \frac{1}{3}Gh$

Berechne ihre Grundfläche.

$G=(3\sqrt 2)^2=18$

Berechne die Höhe $\overline{ZC}$.

$\overrightarrow{ZC}= \begin{pmatrix} 0\\0\\3\end{pmatrix}$

Setze in die Formel ein.

$\overline{ZC}=\sqrt{0^2+0^2+3^2}=3$

$V = \frac{1}{3}\cdot 18\cdot 3 = 18$

Verdopple das Pyramidenvolumen, das Volumen eines Oktaeders zu erhalten.

$V_{Oktaeder} = 2\cdot 18 = 36$

Das Volumen des Oktaeders beträgt $36$.