4Lösung 1f

Aufgabenstellung

$1$ In einem kartesischen Koordinatensystem legen die Punkte $A(6|3|3)$, $B(3|6|3)$ und $C(3|3|6)$ das gleichseitige Dreieck $ABC$ fest. a) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E, in der das Dreieck $ABC$ liegt, in Normalform.

Spiegelt man die Punkte $A$, $B$ und $C$ am Symmetriezentrum $Z(3|3|3)$, so erhält man die Punkte $A'$, $B'$ bzw. $C'$.

b) Beschreiben Sie die Lage der Ebene, in der die Punkte $A$, $B$ und $Z$ liegen, im Koordinatensystem. Zeigen Sie, dass die Strecke $[CC']$ senkrecht auf diese Ebene steht.

c) Begründen Sie, dass das Viereck $ABA' B'$ ein Quadrat mit der Seitenlänge$3\sqrt 2$ ist.

Der Körper $ABA'B'CC'$ ist ein sogenanntesOktaeder. Er besteht aus zwei Pyramiden mitdem Quadrat $ABA' B'$ als gemeinsamer Grundflächeund den Pyramidenspitzen $C$ bzw. $C'$.

d) Weisen Sie nach, dass das Oktaederdas Volumen $36$ besitzt.

e) Bestimmen Sie die Größe des Winkelszwischen den Seitenflächen $ABC$ und$AC'B$.

f) Alle Eckpunkte des Oktaeders liegen auf einer Kugel. Geben Sie eine Gleichung dieser Kugel an. Berechnen Sie den Anteil des Oktaedervolumens am Kugelvolumen.

Lösung

Da $A'$, $B'$ und $C'$ durch Spiegelung an $Z$ entstanden sind und $ABA'B'$ ein Quadrat ist, ist $Z$ der Mittelpunkt der Kugel.

Der Radius ist dann die Länge aller Vektoren, die von $Z$ ausgehen. Nehme zum Beispiel $\overrightarrow{ZC}$, von dem du bereits weißt, dass er $3\ LE$ lang ist.

Kugelgleichung

$Z(3|3|3)$, $r=3$

Stelle die Kugelgleichung auf.

$K: (x_1-m_1)^2+(x_2-m_2)^2+(x_3-m_3)^2=r^2$

$K: (x_1-3)^2+(x_2-3)^2+(x_3-3)^2=3^2$

Kugelvolumen

$r=3$

Setze in die Formel für das Kugelvolumen ein.

$V=\frac{4}{3}r^3\pi$ $V=\frac{4}{3}\cdot 3^3\pi$ $V=36\pi \ VE=113{,}10 \ VE$

Berechne den Anteil des Oktaedervolumens am Kreisvolumen

$\frac{36}{36\pi}=\frac1\pi\approx 0{,}318\approx 31{,}8\%$