Aufgabengruppe 2

%%1.%% Nach einem Bericht zur Allergieforschung aus dem Jahr 2008 litt damals in Deutschland jeder vierte bis fünfte Einwohner an einer Allergie. 41 % aller Allergiker reagierten allergisch auf Tierhaare. Kann aus diesen Aussagen gefolgert werden, dass 2008 mindestens 10 % der Einwohner Deutschlands auf Tierhaare allergisch reagierten? Begründen Sie Ihre Antwort. (3 BE)

%%2.%% Nach einer aktuellen Erhebung leiden %%25%% % der Einwohner Deutschlands an einer Allergie. Aus den Einwohnern Deutschlands werden %%n%% Personen zufällig ausgewählt.

%%a%%) Bestimmen Sie, wie groß %%n%% mindestens sein muss, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als %%99%% % mindestens eine der ausgewählten Personen an einer Allergie leidet. (4 BE)

%%b%%) Im Folgenden ist %%n=200%%. Die Zufallsgröße %%X%% beschreibt die Anzahl der Personen unter den ausgewählten Personen, die an einer Allergie leiden. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert der binomialverteilten Zufallsgröße %%X%% höchstens um eine Standardabweichung von ihrem Erwartungswert abweicht. (5 BE)

%%3.%% Ein Pharmaunternehmen hat einen Hauttest zum Nachweis einer Tierhaarallergie entwickelt. Im Rahmen einer klinischen Studie zeigt sich, dass der Hauttest bei einer aus der Bevölkerung Deutschlands zufällig ausgewählten Person mit einer Wahrscheinlichkeit von %%39,5%% % ein positives Testergebnis liefert. Leidet eine Person an einer Tierhaarallergie, so ist das Testergebnis mit einer Wahrscheinlichkeit von %%85%% % positiv. Das Testergebnis ist jedoch bei einer Person, die nicht an einer Tierhaarallergie leidet, mit einer Wahrscheinlichkeit von %%35%% % ebenfalls positiv.

%%a%%) Ermitteln Sie, welcher Anteil der Bevölkerung Deutschlands demnach allergisch auf Tierhaare reagiert. (4 BE)

%%b%%) Eine aus der Bevölkerung Deutschlands zufällig ausgewählte Person wird getestet; das Testergebnis ist positiv. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Person tatsächlich an einer Tierhaarallergie leidet. (2 BE)

%%c)%% Aus der Bevölkerung Deutschlands wird eine Person zufällig ausgewählt und getestet. Beschreiben Sie das Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit im Sachzusammenhang mit dem Term %%0,09\cdot0,15 + 0,91\cdot 0,35%% berechnet wird. (2 BE)

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