Lösung Aufgabe 1

Aufgabenstellung

Die beiden Baumdiagramme gehören zum selben Zufallsexperiment mit den Ereignissen %%A%% und %%B%%.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit %%P(B)%% und ergänzen Sie anschließend an allen Ästen des rechten Baumdiagramms die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten.

(Teilergebnis: %%P(B) = 0,5%%)
(5 BE)

Abitur Bayern 2016, Stochastik A 1

Lösung

Berechnung von %%P(B)%%

Aus dem linken Baumdiagramm kannst du folgende Werte entnehmen:

  • %%P(A) = 0,4 = \frac{4}{10}%%

  • %%P(\overline{A}) = 0,6 = \frac{6}{10}%%

  • %%P_A(B) = \frac{3}{4}%%

  • %%P_A(\overline{B}) = \frac{1}{3}%%

  • %%P_{\overline{A}}(B) = \frac{1}{4}%%

  • %%P_{\overline{A}}(\overline{B}) = \frac{2}{3}%%

Um %%P(B)%% zu berechnen, musst du die erste und zweite Pfadregel anwenden. Kurz gesagt, benutzt du den Multiplikationssatz:

%%\begin{array}{rrl} P(B) &= &P_A(B) \cdot P(A) + P_{\overline{A}}(B) \cdot P(\overline{A}) \\ P(B) &= &\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{10} + \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{10} \\ P(B) &= &\frac{3}{10} + \frac{2}{10} \\ P(B) &= &\frac{1}{2} \end{array}%%

Die Wahrscheinlichkeit für %%P(B)%% beträgt also %%\frac{1}{2}%%.

Ergänzung des Baumdiagramms

Du hast bereits mithilfe der ersten Pfadregel folgende Wahrscheinlichkeiten berechnet:

  • %%P(A \cap B) = P_A(B) \cdot P(A) = \frac{3}{10}%%

  • %%P(\overline{A} \cap B) = P_{\overline{A}}(B) \cdot P(\overline{A}) = \frac{2}{10}%%

Vervollständige den linken Baum:

  • %%P(A \cap \overline{B}) = P_A(\overline{B}) \cdot P(A) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{10} = \frac{1}{10}%%

  • %%P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P_{\overline{A}}(\overline{B}) \cdot P(\overline{A}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{6}{10} = \frac{2}{5}%%

Aus dem ersten Teil der Frage weißt du, dass %%P(B) = \frac{1}{2}%% gilt.
Daraus folgt %%P(\overline{B}) = 1 - P(B) = \frac{1}{2}%% für den rechten Baum.

Diesmal sind dir die bedingten Wahrscheinlichkeiten unbekannt. Um diese auszurechnen, stellst du die erste Pfadregel um.

  • %%P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{3}{10}}{\frac{1}{2}} = \frac{3}{5}%%

  • %%P_B(\overline{A}) = \frac{P(\overline{A} \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{2}{10}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{5}%%

  • %%P_{\overline{B}}(A) = \frac{P(A \cap \overline{B})}{P(\overline{B})} = \frac{\frac{1}{10}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{5}%%

  • %%P_{\overline{B}}(\overline{A}) = \frac{P(\overline{A} \cap \overline{B})}{P(\overline{B})} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{1}{2}} = \frac{4}{5}%%

Trage anschließend die Ergebnisse in beide Baumdiagramme ein.

Abitur Bayern 2016, Stochastik A1 L

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