Aufgabe 1 - Lösung

Lösung Aufgabe %%1a%%

Definitionsbereich bestimmen

Überlege dir, wo die Funktion definiert ist und wo nicht. Da du den maximalen Definitionsbereich angeben musst, brauchst du auch in auf irgendwelche Intervalle zu schauen.

Der Nenner darf nicht Null werden:
Nenner wird Null bei %%x=0%%

Der %%ln(x)%% ist nur für positive %%x%% definiert %%\Rightarrow%% %%D=\mathbb{R}^{+}=]0;\infty[%%

Nullstelle von %%f%%

%%\begin{array}{rrll} f(x)&=&\frac{lnx}{x^2}\\ 0&=&\frac{lnx}{x^2} \quad &|\cdot x^2\\ 0&=& lnx\end{array}%%

Wann wird der %%lnx%% Null? Genau, bei %%1%%! Daraus folgt:

%%x=1%%

$$\lim_{x\to 0}{\frac{lnx}{x^2}}$$

Was passiert, wenn der natürliche Logarithmus gegen %%0%% geht? Dieser wird gegen %%-\infty%% gehen.
Was passiert, wenn du in %%x^2%% sehr kleine Zahlen einsetzt? Sie werden noch kleiner.
Du teilst also etwas ganz großes negatives durch etwas ganz kleines positives (wegen dem Quadrat), es bleibt also ganz groß und negativ.

$$\lim_{x\to 0}{\frac{lnx}{x^2}}=-\infty$$

Lösung Aufgabe %%1b%%

Eine waagrechte Tangente bedeutet, dass die Ableitung keine Steigung hat, also Null ist. Dazu musst du erst einmal die Ableitung ausrechnen. Verwende die Quotientenregel.

%%f(x)=\frac{u}{v}%%

%%f'(x)=\frac{u'\cdot v - u \cdot v'}{v^2}%%

%%\begin{array}{rrl}\displaystyle f'(x)&=&\frac{\frac{1}{x}\cdot x^2 - lnx \cdot 2x}{x^4}\\ &=&\frac{x - lnx \cdot 2x}{x^4}\end{array}%%

Suche die Nullstelle der Ableitung.

%%\begin{array}{rrll} f'(x)&=&\frac{x - lnx \cdot 2x}{x^4}\\ 0&=&\frac{x - lnx \cdot 2x}{x^4} \quad &|\cdot x^4\\ 0&=&x-lnx\cdot 2x \quad &|+lnx\cdot 2x\\ lnx\cdot 2x&=&x \quad &|:2x\\ lnx&=&\frac{1}{2}\quad &|e^{()}\\ x&=&e^{\frac{1}{2}} \end{array}%%

Da du im Teil %%A%% keinen Taschenrechner hast, lässt du das Ergebnis einfach so stehen.
Somit ist die %%x%%-Koordinate gefunden.

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