Springe zum Inhalt oder Footer
SerloDie freie Lernplattform

2Lösung d

Aufgabenstellung

Bild Fußballfeld

Der Torwart führt den Abstoß aus. Der höchste Punkt der Flugbahn des Ballswird im Modell durch den Punkt H(507015)H( 50 | 70 |15) beschrieben.

d)d) Ermitteln Sie eine Gleichung der durch die Punkte W1W_1, W2W_2 und K2K_2 festgelegten

Ebene EE in Normalenform und weisen Sie nach, dass HH unterhalbvon EE liegt. (7 BE) (Mögliches Teilergebnis: E:x2+5x3150=0E: x_2 +5x_3 - 150=0)

Lösung

Bestimmung der Ebenengleichung in Koordiantenform

Gegeben und ausgerechnet sind die Punkte W1(0030)W_1(0|0|30), W2(90030)W_2(90|0|30) und K2(5110010)K_2(51|100|10).

 

Zur Aufstellung einer Ebenengleichung in Koordinatenform benötigst du einen Stützpunkt und zwei Spannvektoren, die von diesem Punkt aus ausgehen und die Ebene aufspannen. Zum Beispiel suchst du dir den Stützpunkt W1W_1 und die Vektoren, die von diesem Punkt aufgespannt werden.

 

X=W1+μW1W2+λW1K2\overrightarrow{X}=\overrightarrow{W_1} + \mu \cdot \overrightarrow{W_1W_2} + \lambda \cdot \overrightarrow{W_1K_2}

 

Rechne dazu die Vektoren W1W2\overrightarrow{W_1W_2} und W1K2\overrightarrow{W_1K_2} aus.

 

W1W2=(90030)(0030)=(9000)\overrightarrow{ W_1W_2}=\begin{pmatrix}90\\0\\30\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\30\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}90\\0\\0\end{pmatrix}

 

W1K2=(5110010)(0030)=(5110020)\overrightarrow{ W_1K_2}=\begin{pmatrix}51\\100\\10\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\30\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}51\\100\\-20\end{pmatrix}

 

Setze die Werte in die Ebenengleichung in Koordinatenform ein.

 

X=(0030)+μ(9000)+λ(5110020)\overrightarrow{X}=\begin{pmatrix}0\\0\\30 \end{pmatrix}+ \mu \cdot \begin{pmatrix}90\\0\\0\end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix}51\\100\\-20\end{pmatrix}

Bestimmung der Ebenengleichung in Normalenform

Um von der Koordinatenform zur gesuchten Normalenform zu kommen musst du die folgende Formel anwenden:

 

E:nE[XW1]=0E:\overrightarrow{n_E} \circ [\overrightarrow{X}-\overrightarrow{W_1}]=0

  • n0\overrightarrow{n_0} ist der normierte Normalenvektor. Dieser steht senkrecht zu den beiden Stützvektoren.

  • W1\overrightarrow{W_1} ist dein Stützpunkt

  • Da der Normalenvektor senkrecht auf den Stützpunkt ist, setzt man die Gleichung gleich 00.

Aus den beiden Spannvektoren rechnest du deinen Normalenvektor nE\overrightarrow{n_E} aus.

 

nE=W1W2×W1K2=(9000)×(5110020)=(018009000)\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrl}\overrightarrow{n_E} &=& \overrightarrow{W_1W_2} \times \overrightarrow{W_1K_2}\\&=&\begin{pmatrix}90\\0\\0\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 51\\100\\-20\end{pmatrix}\\&=&\begin{pmatrix}0\\1800\\9000\end{pmatrix}\end{array}

 

Setze die Vektoren in die Ebenengleichung ein.

 

E:(018009000)[(x1x2x3)(0030)]=0E:\begin{pmatrix}0\\1800\\9000\end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\30\end{pmatrix}\right]=0

 

Rechne das Skalarprodukt aus.

 

E:(018009000)[(x1x2x330)]=0E:1800x2+9000(x330)=0E:1800x2+9000x3270 000=0\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rlll}E:&\begin{pmatrix}0\\1800\\9000\end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3-30\end{pmatrix}\right]&=&0\\E:& 1800\cdot x_2 + 9000\cdot (x_3-30)&=&0\\E:& 1800\cdot x_2 + 9000\cdot x_3 - 270 \ 000 &=&0\end{array}

 

Kürze die Gleichung durch 18001800 damit die großen Zahlen verschwinden.

 

E:x2+5x3150=0E: x_2 + 5x_3 - 150 = 0

 

Schon bist du beim Zwischenergebnis. Super! :-)


Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0Was bedeutet das?