3Lösung 2a

Aufgabenstellung

$2$Eine zweite Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand verwendet eine Kosinusfunktion vom Typ $k: x \mapsto 5\cdot cos(c\cdot x)$ mit $c\in\mathbb{R}$ und Definitionsbereich $D_k=[-5;5]$, bei der offensichtlich Bedingung II erfüllt ist.

Bestimmen Sie c so, dass auch Bedingung I erfüllt ist, und berechnen Sie damit den Inhalt der Querschnittsfläche des Tunnels. (5 BE)

(zur Kontrolle: $c=\frac{\pi}{10}$, Inhalt der Querschnittsfläche: $\frac{100}{\pi}m^2$)

Aufgabenstellung

Bestimmung der Variable c

Die Bedingung I besagt, dass die Breite des Tunnels $10m$ betragen soll. Das heißt, der Abstand zwischen der Nullstelle links und rechts vom Ursprung muss auch $10m$ betragen und der Abstand einer der Nullstellen zum Ursprung genau $5m$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}k(5)&=&0\\5\cdot cos(c\cdot 5)&=& 0 \quad|:5\\cos(5c)&=&0\end{array}$

Der Kosinus besitzt seine erste Nullstelle bei $\frac{\pi}{2}$. Also setzt man das "Innere" des Kosinus gleich $\frac{\pi}{2}$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl} 5c &=& \frac{\pi}{2} \quad |:5\\c&=&\frac{\pi}{10}\end{array}$

Man erhält also das Kontrollergebnis für $c$.

Flächeninhalt der Querschnittsfläche

Wegen Bedingung I weiß man, dass die Nullstellen bei $x=-5$ und $x=5$ sind. Für die Fläche muss man die Funktion von der ersten bis zur zweiten Nullstelle integrieren.

$\int_{-5}^{5} 5\cdot cos(\frac{\pi}{10}\cdot x) dx = 5\int_{-5}^{5} cos(\frac{\pi}{10}\cdot x) dx = 5 \cdot [sin(\frac{\pi}{10}\cdot x)\cdot\frac{10}{\pi}]_{-5}^{5}= \\ 5\cdot (sin(\frac{\pi}{10}\cdot 5)\cdot\frac{10}{\pi}-sin(\frac{\pi}{10}\cdot (-5))\cdot\frac{10}{\pi})=\frac{50}{\pi} \cdot (sin(\frac{\pi}{2})-sin(-\frac{\pi}{2}))= \frac{50}{\pi} \cdot (1-(-1))=\frac{50}{\pi} \cdot2 = \frac{100}{\pi}$

Damit hat man das Kontrollergebnis erhalten.