8Lösung 3c

Aufgabenstellung

$3$Eine dritte Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand, bei der ebenfalls die Bedingungen I und II erfüllt sind, verwendet die Funktion $f: x\mapsto \sqrt{25-x^2}$ mit Definitionsbereich $D_f=[-5;5]$.

$a)$ Begründen Sie, dass in diesem Modell jeder Punkt des Querschnitts der Tunnelwand von der Bodenmitte M den Abstand $5 m$ hat. Zeichnen Sie den Graphen von f in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf spätere Aufgaben: $5\le x\le 9$, $1\le y\le 13$) und begründen Sie, dass bei dieser Modellierung auch Bedingung III erfüllt ist. (5 BE)

Betrachtet wird nun die Integralfunktion $F: x\mapsto \int_{0}^{x} f(t) dt$ mit Definitionsbereich $D_F=[-5;5]$.

$b)$Zeigen Sie mithilfe einer geometrischen Überlegung, dass $F(5)=\frac{25}{4}\pi$ gilt. Einer der Graphen A, B und C ist der Graph von F. Entscheiden Sie, welcher dies ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung, indem Sie erklären, warum die beiden anderen Graphen nicht infrage kommen. (5 BE)

Berechnen Sie, um wie viel Prozent der Inhalt der Querschnittsfläche des Tunnels bei einer Modellierung mit $f$ von dem in Aufgabe 2a berechneten Wert abweicht. (2 BE)

Lösung

Fläche aus 2a: $\frac{100}{\pi}$ Fläche bei Modellierung mit $f$: $\frac{25}{4}\pi$

Die Abweichung in Prozent berechnet man, indem man die Differenz der Werte durch den "ursprünglichen" Wert (also den der Aufgabe 2a) teilt.

$\frac{\frac{100}{\pi}-\frac{25}{4}\pi}{\frac{100}{\pi}}=0{,}3831…$

Die Abweichung beträgt also ca. $38\%$