10Lösung 3e

Aufgabenstellung

$3$Eine dritte Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand, bei der ebenfalls die Bedingungen I und II erfüllt sind, verwendet die Funktion $f: x\mapsto \sqrt{25-x^2}$ mit Definitionsbereich $D_f=[-5;5]$.

$a)$ Begründen Sie, dass in diesem Modell jeder Punkt des Querschnitts der Tunnelwand von der Bodenmitte M den Abstand $5 m$ hat. Zeichnen Sie den Graphen von f in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf spätere Aufgaben: $5\le x\le 9$, $1\le y\le 13$) und begründen Sie, dass bei dieser Modellierung auch Bedingung III erfüllt ist. (5 BE)

Betrachtet wird nun die Integralfunktion $F: x\mapsto \int_{0}^{x} f(t) dt$ mit Definitionsbereich $D_F=[-5;5]$.

$b)$Zeigen Sie mithilfe einer geometrischen Überlegung, dass $F(5)=\frac{25}{4}\pi$ gilt. Einer der Graphen A, B und C ist der Graph von F. Entscheiden Sie, welcher dies ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung, indem Sie erklären, warum die beiden anderen Graphen nicht infrage kommen. (5 BE)

$c)$ Berechnen Sie, um wie viel Prozent der Inhalt der Querschnittsfläche des Tunnels bei einer Modellierung mit $f$ von dem in Aufgabe 2a berechneten Wert abweicht. (2 BE)

Der Tunnel soll durch einen Berg führen. Im betrachteten Querschnitt wird das Profil des Berghangs über dem Tunnel durch eine Gerade g mit der Gleichung $y=-\frac{4}{3}x+12$ modelliert.

$d)$Zeigen Sie, dass die Tangente $t$ an den Graphen von $f$ im Punkt $R(4|f(4))$ parallel zu $g$ verläuft. Zeichnen Sie $g$ und $t$ in das Koordinatensystem aus Aufgabe 3a ein. (4 BE)

Der Punkt $R$ aus Aufgabe 3d entspricht demjenigen Punkt der Tunnelwand, der im betrachteten Querschnitt vom Hangprofil den kleinsten Abstand $e$ in Metern hat. Beschreiben Sie die wesentlichen Schritte eines Verfahrens zur rechnerischen Ermittlung von $e$. (3 BE)

Lösung

Für den kleinsten Abstand braucht man die Lotgerade von R auf g. Die Steigung ist die Normalensteigung und wird mit Hilfe der Formel $m_N=-\frac{1}{m_g}$ berechnet. Dann setzt man den Punkt $R$ ein und berechnet den $y$-Achsenabschnitt. Damit hat man die Lotgerade. Nun muss man den Schnittpunkt der Lotgerade mit $g$ berechnen. Als Letztes berchnet man den Abstand von dem Schnittpunkt zu $R$.