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Exkurs 1

Wie du schon weißt, nennt man die Elemente der Zahlenmenge %%\mathbb{Q}%% die rationalen Zahlen. Allerdings gibt es einige Wurzelzahlen, die nicht rational, sondern irrational sind (z.B.:%%\sqrt2, \sqrt3,\sqrt5,\sqrt6,…%%). Die Irrationalität einer Wurzelzahl lässt sich recht einfach Beweisen:


Beweis

Wir nehmen an, dass %%\sqrt2%% eine rationale Zahl ist. Dann gibt es einen vollständig gekürzten Bruch, mit dem Zähler %%z%% und dem Nenner %%n%%, für den gilt:

%%\frac{z}n=\sqrt2%%

Quadriere beide Seiten.

%%(\frac{z}n)^2=(\sqrt2)^2%%

Löse weiter auf.

%%\frac{z^2}{n^2}=2%%

Stelle um nach %%z^2%%.

(*) %%z^2=2\cdot n^2%%

Was bedeutet dieses (*)?

Die Markierung eines bestimmten Ausdruckes mit diesem (*) wird gemacht, wenn man sich im späteren Verlauf der Argumentation noch mal auf diesen Ausdruck beziehen möchte.

%%2\cdot n^2%% ist eine gerade Zahl, weil man sie durch 2 teilen kann. Wegen dem Gleicheitszeichen ist auch %%z^2%% eine gerade Zahl.

Allgeimen gilt: "eine ungerade Zahl im Quadrat ist Ungerade und eine gerade Zahl im Quadrat ist Gerade". Für einen ausführlichen Beweis klicke auf "Beweis gerade Zahlen im Quadrat"

Beweis gerade Zahlen im Quadrat

Du weißt, dass eine Zahl entweder gerade oder ungerade sein kann. Wir können allgemein schreiben:

  • %%a%% ist gerade, wenn %%a=2x%%
  • %%a%% ist ungerade, wenn %%a=2x+1%%

nehmen wir an, dass %%a^2%% gerade ist. Nun wollen wir wissen, ob %%a%% dann gerade oder ungerade ist. Am besten probieren wir die verschiedienen Möglichkeiten aus:

Zuerst nehmen wir %%a=2x+1%%, also %%a%% ist ungerade:

Wir überprüfen nun, ob für %%a%% ungerade, %%a^2%% gerade ist.

%%a^2=(2x+1)^2=\underbrace{4x^2+4x+1}_{ungerade}%%

Wenn also %%z^2%% gerade ist, dann ist auch %%z%% gerade und kann deswegen also auch durch %%2%% geteilt werden. Wir führen eine beliebige ganze Zahl %%r%% ein für die gilt:

%% \begin{align} 2 \cdot r &=z \\ (2 \cdot r)^2&=z^2 \\ 4\cdot r^2&=z^2\\ 4\cdot r^2&=2\cdot n^2\\ 2\cdot r^2&=n^2\\ \end{align} %%

Quadriere beide Seiten.
Multipliziere aus.
Setze in (*) ein.
Teile durch 2.

%%2\cdot r^2%% ist eine gerade Zahl, weil man sie durch zwei teilen kann. Wegen dem Gleichheitszeichen ist auch %%n^2%% gerade. Wie oben schon beschrieben ist, wenn %%n^2%% gerade ist auch %%n%% gerade.

Es wurde also gezeigt, dass %%z%% und %%n%% beide gerade sind.

Wir betrachten noch einmal den Bruch %%\frac{z}n%%. Als Vorrausetzung hatten wir gefordert, dass dieser Bruch vollständig gekürzt ist. Da wir aber zeigen konnten, dass %%z%% und %%n%% gerade sind, kann man sie noch weiter kürzen mit der %%2%%. Weil wir hier einen Widerspruch erzeugt haben war unsere Aussage, dass %%\sqrt2%% eine rationale Zahl ist falsch. %%\sqrt2%% ist also irrational.

Einen ausführlicheren Beweis findest du hier.


Vorsicht:

Manche Wurzelzahlen sind sehr wohl Element von %%\mathbb{Q}%%:

%%\sqrt4=2\\ \sqrt16=4 %%

und {%%2;4%%} %%\in \mathbb{Q}%%

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