Teilweises Wurzelziehen

Du weißt, dass du %%\sqrt{8}%% nicht im Kopf berechnen kannst. Jedoch gibt es eine Möglichkeit diesen Ausdruck zu vereinfachen, indem du den Radikand möglichst klein machst.

Mithilfe des Wurzelgesetzes zum Multiplizieren von Wurzeln, kannst du die Wurzel in zwei Teile teilen. Aus einem dieser Teile kannst du die Wurzel ziehen, der andere Teil bleibt unverändert.

Du kannst die Wurzel durch diese Zerlegung teilweise lösen und Rechenausdrücke sowie Terme vereinfachen.


Eine Schritt für Schritt Anleitung:

1)%%\;%% Zerlege den Radikanden in Primfaktoren.

%%8 = 2^3%%

2)%%\;%% Suche gerade Exponenten in der Zerlegung.

%%8 = 2^3 = 2^2 \cdot 2%%

3)%%\;%% Zerlege die Wurzel in zwei Teile

  • Einen Teil, in dem nur gerade Exponenten vorkommen (aus denen du die Wurzel ziehen kannst).

  • Einen Teil, aus dem sie nicht gezogen werden kann

%%\begin{array} \ \sqrt{8} &= \underbrace{\sqrt{2^2 \cdot 2}}_{\text{teilweise ziehbar}}\\ &= \underbrace{\sqrt{2^2}}_{\text{ziehbar}} \cdot \underbrace{\sqrt{2}}_{\text{nicht ziehbar}} \end{array}%%

4)%%\;%% Ziehe die Wurzel bei dem ersten Teil.

%%\begin{array} \ \sqrt{8} &=2 \cdot \sqrt{2} \end{array}%%

5)%%\;%% Vereinfache den Rechenausdruck, falls möglich.

Der Term %%2\sqrt{2}%% kann nicht weiter vereinfacht werden.

Beispiele
  • %%\sqrt{72} = \sqrt{2^3 \cdot 3^2} = \sqrt{2^2 \cdot 2 \cdot 3^2} = \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3^2} =2 \cdot \sqrt{2} \cdot 3 = 6 \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}%%

  • %%\sqrt{80}= \sqrt{2^4 \cdot 5} =\sqrt{2^4} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{\left(2^2\right)^2} \cdot \sqrt{5}=2^2 \cdot \sqrt{5} = 4 \cdot \sqrt{5}=4\sqrt{5}%%

  • %%\sqrt{2x^2} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{x^2} = \sqrt{2} \cdot x = x\sqrt{2}%%

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