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Motivation (2/2)

Hannibals Großmutter zeigte Hannibal einst folgende Karte und sagte:

„Alle Wege über die Alpen haben etwas mit Quadraten zu tun. Sie verlaufen entlang der Seitlängen oder entlang der Diagonalen.

Die Elefanten-Autobahn verläuft entlang der Seiten des Quadrats. Das ist die orange Linie, mein Junge.

Es gibt auch einen kürzeren Weg, dieser steinige Weg verläuft entlang der Diagonale desselben Quadrats und hat die Farbe türkis.”

Um endlich zu wissen, welche Route nun die schnellere ist, muss Hannibal noch die Länge des Wegs wissen.

Hannibal bezeichnet die Seitenlänge des Quadrats mit %%s%%.

Länge der Elefanten-Autobahn

%%s_1 =2 \cdot%% Seitenlänge des Quadrats

%%= 2 \cdot s%%

Länge des steinigen Weg

%%s_2=%% Diagonale des Quadrats

%%=\sqrt{2} \cdot s%%

%%\dfrac{s_1}{s_2} = \dfrac{2}{\sqrt{2}} =\underbrace{\dfrac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}}}_{\text{kürzen}} = \sqrt{2}%%

%%\Rightarrow%% Die Elefanten-Autobahn ist %%\sqrt2%%-mal länger (im Vergleich zum steinigen Weg).

Geschwindigkeit auf Elefanten-Autobahn

doppelt so schnell wie auf steinigem Weg

Geschwindigkeit auf steinigem Weg

normale Elefanten-Geschwindigkeit

%%\Rightarrow%% Die Elefanten sind auf der Elefanten-Autobahn %%2%% mal schneller (im Vergleich zum steinigen Weg).


Um herauszufinden, welche Route schneller ist, ist Hannibal momentan etwas ratlos, weil er nicht weiß, welchen Wert %%\sqrt2%% hat.

Das braucht er, um die Länge der Strecke und demnach die Zeitdauer zu errechnen.

Was hat die benötigte Zeit mit %%\sqrt2%% zu tun?

Aus der Physik weiß man, dass für die (konstante) Geschwindigkeit %%v%% und die in der Zeit %%t%% zurückgelegte Strecke %%x%% gilt: $$x=v\cdot t$$

Umstellen dieser Formel nach %%t%% ergibt: $$t=\frac{x}{v}$$

Also braucht Hannibal für die Elefanten-Autobahn die Zeit: $$t_{Elefanten-Autobahn} =\frac{2\cdot s}{2\cdot v_{steiniger\; Weg}}=\frac{s}{v_{steiniger\;Weg}}$$

Also braucht Hannibal für den steinigen Weg die Zeit: $$t_{steiniger\;Weg} =\frac{\sqrt2\cdot s}{v_{steiniger\; Weg}}$$

Das führt zuletzt auf das Verhältnis der benötigten Zeit:

$$\frac{t_{steiniger\;Weg}}{t_{Elefanten-Autobahn}}=\frac{\frac{\sqrt2\cdot s}{v_{steiniger\; Weg}}}{\frac{s}{v_{steiniger\;Weg}}}=\sqrt{2}$$

Das heißt %%t_{steiniger\;Weg}=\sqrt2\cdot t_{Elefanten-Autobahn}%%.

Auf den nächsten Seiten des Kurses wird dieses Problem gelöst.

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